Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.1
Х
z
у
x
0
Y
ρ
ϕ
1. КОМПЛЕСНЫЕ ЧИСЛА В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ И
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМАХ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
1. Основные понятия.
Определение. Комплексным
*
числом
z
называется выражение вида
yix
+
,
где
x
, y – действительные числа ( Rx ∈ ,
Ry ∈
); i – число, квадрат которого равен минус единице ( 1
2
−=i ); число
1−=i
называется мнимой единицей.
Число
x
называется действительной частью комплексного числа
z
, обозначается zx Re= ; y называется мнимой
частью комплексного числа
z
и обозначается
zy Im
=
. Выражение
yixz
+
=
называется алгебраической формой записи
комплексного числа. Множество комплексных чисел обозначается С, а
Сz
∈
– элемент множества. Очевидно, что CR ⊂ .
ПРИМЕР. Нахождение действительной и мнимой частей комплексных чисел. Записать действительную и мнимую
части чисел:
5,2,3,21
4321
=
−
=
−
=
−= ziziziz .
Решение. Имеем 2Im,1Re
11
−== zz . Далее iz 30
2
−
=
, ,0Re
2
=
z 3Im
2
−
=
z . Число 2
3
−= iz следует записать в
стандартном виде
iz +−= 2
3
; тогда 1Im,2Re
33
=
−= zz . Наконец iz 05
4
+
=
, т.е. ,5Re
4
=
z 0Im
4
=z .
Определение. Два комплексных числа
iyxz
111
+
= и iyxz
222
+
=
равны тогда и только тогда, когда равны их
действительные и мнимые части.
*
Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения x + yi.
Задание комплексного числа
z
можно рассматривать как задание точки на плоскости, абсциссой которой является
zx Re= , ординатой
zy Im=
, т.е. числу
yixz +=
соответствует точка
(
)
yx, . Между множеством точек XOY и множеством
комплексных чисел (множество С), таким образом, устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Плоскость XOY при
этом называется комплексной плоскостью.
Числа вида
yixz +=
и
yixz
−
=
называются сопряженными.
2. Арифметические операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
1) Суммой (разностью) комплексных чисел
iyxz
111
+
=
и iyxz
222
+
=
называется число
()()
212121
yyixxzzz ±+±=±= .
При сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) действительные и мнимые части
соответственно.
2) Умножение на постоянное число:
yixz
λ
+λ=λ
. Заметим, что
(
)
2121
1 zzzz
−
+
=
−
.
3) Произведением двух комплексных чисел
iyxz
111
+
=
и iyxz
222
+
=
называется число
(
)
(
)
.
2121212121
ixyyxyyxxzzz
+
+
−
=
=
Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что 1
2
−=i . В частности, имеем
(
)
xyiyxzzz 2
222
+−==
.
4) Частным от деления числа
1
z на
2
z ( 0
2
≠z ) называется число ,
2
1
z
z
z =
такое, что справедливо равенство
21
zzz
=
.
Чтобы разделить число
1
z на
2
z ( 0
2
≠z ), следует числитель и знаменатель дроби
2
1
z
z
умножить на число
2
z ,
сопряженное знаменателю.
Пример. алгебраические действия с комплексными числами.
Вычислить
i
i
−1
2
.
Решение. Имеем:
(
)
()()
.1
2
22
1
22
11
12
1
2
2
2
i
i
i
ii
ii
ii
i
i
+−=
+−
=
−
+
=
+−
+
=
−
3.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Если x и y – декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам
(
)
ϕ
ρ
, (рис.
1.1), получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:
(
)
ϕ
+
ϕ
ρ
=
sincos iz . (1.1)
Связь полярных и декартовых ко- ординат точки
z
может быть также пред-
ставлена в виде
.;tg
22
yx
x
y
+=ρ=ϕ
(1.2)
Число
ρ – длина радиуса-вектора
точки
(
)
yx, называется модулем комплексного
числа
iyxz +=
. Обозначение:
ρ=z
.

Страницы