Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
i
e
ieiee
i
−=
−=
π
−+
π
−=
π
−
1
2
2
2
2
2
2
4
sin
4
cos
4
1
.
4. Тригонометрические функции. Функции
z
w cos
=
и
zw sin
=
определяют в виде
i
ee
z
ee
z
zizizizi
2
sin,
2
cos
−−
−
=
+
=
. (2.4)
Тангенс и котангенс комплексного переменного определяем по формулам
iziz
iziz
iziz
iziz
ee
ee
i
z
z
z
ee
ee
i
z
z
z
−
−
−
−
−
+
==
+
−
−==
sin
cos
ctg,
cos
sin
tg
во всех точках z, где знаменатель соответствующей дроби не обращается в ноль.
Пример. Вычисление значений тригонометрических функций. Вычислить значение
2
sin
i
w
π
=
.
Решение. Согласно (2.4) имеем
222
sin
2222
ππ
−
ππ
−
−
−=
−
=
π
=
ee
i
i
eei
w
.
5. Гиперболические синус и косинус определяются по формулам
2
ch,
2
sh
zzzz
ee
z
ee
z
−−
+
=
−
=
.
Имеют место соотношения:
(
)()
1shch,sinsh,cosch
22
=−−== zzziizziz
. (2.5)
Пример. Вычисление значений гиперболических функций. Вычислить
(
)
3
sh iw −=
.
Решение. Запишем
(
)
(
)
iiii shshsh
23
=−=−
. Тогда, согласно соотношению (2.5), имеем
(
)
(
)
1sinsinsh
−
−
=
−= iiiii .
Учитывая нечетность синуса, получаем
1siniw =
.
Пример. Вычисление значений тригонометрических функций посредством перехода к гиперболическим. Вычислить
+
π
= iw
4
cos
.
Решение. Воспользуемся известной формулой косинуса суммы:
()
iiiii sincos
2
2
sin
4
sincos
4
cos
4
cos −⋅=
π
−
π
=
+
π
.
Применяя соотношения (2.5) получаем
1chcos =i
,
1shsin ii
=
. Тогда
()
1sh1ch
2
2
4
cos ii −⋅=
+
π
.
6.
Определение. Логарифмом (натуральным логарифмом) числа z называется такое число w, что ze
w
= , где 0
≠
z .
Значения логарифмической функции
zw Ln=
вычисляются по формуле
.),2arg(lnLn Zkkzizz ∈π++=
Величину
zizz arglnln +=
называют главным значением логарифма. Логарифмическая функция определена при всех
0≠z и многозначна.
Известные нам свойства логарифма сохраняются и в случае комплексной переменной.
Пример. Вычисление значений логарифма. Вычислить
(
)
1Ln
−
.
Решение. Так как
π+π=− sincos1 i , то
()
(
)
(
)
Zkkiki
∈
+
π
=
π
+
π
+
=− ,2121ln1Ln .
7. В основу определения показательной функции положено известное (для случая действительной переменной)
свойство
(
)
0,
lnln
>== aeea
ax
x
ax
.
Полагаем теперь для любых комплексных 0≠a и z
azz
ea
Ln
= . (2.6)
Эта функция также является многозначной в силу многозначности логарифма.
Пример. Вычисление значений показательной функции. Вычислить
i
i
−
.

Страницы