Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:
() ()
() ()
.;
;;
x
v
i
y
v
zf
y
u
i
x
u
zf
y
u
i
y
v
zf
x
v
i
x
u
zf
∂
∂
+
∂
∂
=
′
∂
∂
−
∂
∂
=
′
∂
∂
−
∂
∂
=
′
∂
∂
+
∂
∂
=
′
4. Определение. Функция
()
zfw
=
, дифференцируемая в точке
0
z и некоторой ее окрестности, называется
аналитической в точке
0
z .
Функция, аналитическая во всех точках некоторой области G, называется аналитической в этой области.
Точки z комплексной плоскости, в которых однозначная
(
)
zf является аналитической, называются правильными
точками этой функции, а все остальные точки (в частности, те, где
(
)
zf не определена) – особыми для
()
zf .
Согласно п. 3 критерием аналитичности
()
zf в данной точке z (в данной области G) является выполнение условий
Коши-Римана (3.1) в этой точке и некоторой ее окрестности (в области G).
Пример. Исследование дифференцируемости и аналитичности функции. Найти точки, в которых функция
(
)
zf : 1)
дифференцируема;
2) аналитична: а)
()
2
zzf =
; б)
()
zzzf Im
=
.
Решение. а) Выделим действительную и мнимую части
(
)
(
)
(
)()
zfyxvzfyxu Im,,Re,
=
=
. Поскольку
() ( )
,2
22
2
ixyyxiyxzf +−=+= то
()
(
)
xyyxvyxyxu 2,,,
22
=−=
.
Тогда
.2,2,2,2 x
y
v
y
x
v
y
y
u
x
x
u
=
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
Условия Коши-Римана (3.1) выполнены, очевидно, при всех x и y, т.е. во всех точках комплексной плоскости функция
()
zf дифференцируема. Следовательно,
2
zw = аналитична во всей комплексной плоскости.
2) Рассмотрим
()
zzzf Im= . Имеем:
() ( )
,
2
iyxyyiyxzf +=+=
т.е.
(
)
(
)
.,,,
2
yyxvxyyxu ===
Тогда:
.2,0,, y
y
v
x
v
x
y
u
y
x
u
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
Проверяем условия Коши-Римана (3.1):
=−
=
,0
;2
x
yy
отсюда получаем
0
=
=
yx
.
Итак, в единственной точке 0=z условия Коши-Римана выполнены, и, следовательно, в этой точке функция
(
)
zf
имеет производную. Значит, функция ни в одной точке не аналитична (точка дифференцируемости – единственная, и не
существует ее окрестности, где дифференцируемость сохраняется).
Упражнения для самостоятельного решения
1. Найти точки, в которых функция
(
)
zf : 1) дифференцируема;
2) аналитична.
а)
()
12
2
−+= zzzf
; б)
()
zzf 2cos
=
; в)
(
)
(
)
2Re
−
=
zzzf ;
г)
()
z
z
zf =
; д)
()
(
)
2+= zzzf
; е)
()
i
z
zf
2
Im
2
=
.
2. Вычислить производную функции
()
zf в точке
0
z :
1)
()
izzzzf 21,54
0
2
+−=+−=
; 2)
()
iz
z
zf −π==
0
,
2
sin
;
3)
()
2
3,
0
56
π
−==
−
izezf
i
.
3. Найти
()
0
zf
′
,
()
0
arg zf
′
, если
()
z
ezf
2
=
и iz
=
0
.

Страницы