Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1.1 Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Если )()( xFxf
′
= на некотором
интервале
),( ba , то функция )(xF (по отношению к )(xf ) называется первообразной.
Так, например, для
xxf 2=)( первообразными являются:
2
xxF =)( , 1
2
−= xxF )( , ..., и, вообще, любая
функция вида
CxxF +=
2
)( , где С – произвольная постоянная.
В общем случае совокупность всех первообразных для
)(xf , ),( bax
∈
, имеет вид:
{}
CxF +)( , где )(xF –
некоторая (фиксированная) первообразная, С – произвольная постоянная. Такая совокупность называется
неопределенным интегралом для
)(xf . Обозначение:
CxFdxxf +=
∫
)()( .
1.1.2 Таблица интегралов
1)
1,
1
1
−≠α+
+α
=
+α
α
∫
C
x
dxx ;
6)
Cxdxx +=
∫
sincos ;
2)
Cx
x
dx
+=
∫
ln
7)
Cx
x
dx
+=
∫
tg
cos
2
;
3)
Cedxe
xx
+=
∫
;
8)
Cx
x
dx
+−=
∫
ctg
sin
2
;
4)
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln
;
9)
Cx
x
dx
+=
−
∫
arcsin
1
2
;
5)
Cxdxx +−=
∫
cossin ;
10)
∫
+=
+
Cx
x
dx
arctg
1
2
.
1.1.3 Линейность интеграла
()
.const,;)()()()( =µλµ+λ=µ+λ
∫∫∫
dxxgdxxfdxxgxf
1.1.4 Приемы интегрирования
а) Использование таблицы, линейности и почленного деления. Например
=+−=
+−=
+−
∫∫∫∫∫
−
x
dx
dxdxxdx
xx
x
x
x
dx
x
xx
23
123123
2
1
CxxxCxx
x
++−=++−= ln26ln2
2
1
3
2
1
.
б) Замена переменных
)(xt
ϕ
= по формуле
()
∫∫
=ϕ
′
ϕ dttfdxxxf )()()( .
Указанная замена эффективна, если в произведении с dx имеется множитель, являющийся (с точностью
до постоянного коэффициента) производной выражения ("блока"), от которого зависит оставшийся множитель.
Этот блок и обозначаем новой буквой. Вычислив интеграл, возвращаемся к старой переменной.
П р и м е р.
∫
+
=
2
1
x
dxx
J
.
Заметим, что множитель х есть "почти производная" от блока
2
1 x+ , т.е.
(
)
xx 21
2
=
′
+ .Следовательно, пола-
гаем
2
1 xt += и устанавливаем связь дифференциалов: dxxdt 2
=
.
Числитель подынтегрального выражения будет равен
dt , если его домножить на 2 (одновременно умно-
жим интеграл на 1/2):
(
)
CxCt
t
dt
x
dxx
J ++=+==
+
=
∫∫
2
2
1ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
2
1
.

Страницы