ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
в) Выделение полного квадрата в случае квадратного трехчлена в знаменателе дроби. Здесь следует
пользоваться формулой
a
bac
a
b
xacbxax
4
4
2
2
2
2
−
+
+=++
и заменой переменных
a
b
xt
2
+=
, откуда
a
b
tx
2
−=
, dtdx
=
.
П р и м е р 1.
∫
++
=
178
2
xx
dx
J
.
Используем формулу в), в которой
17,8,1
=
=
=
cba . Имеем
()
Cх
x
dx
J ++=
++
=
∫
4arctg
1)4(
2
.
1.1.5 Интегрирование "по частям"
∫∫
−= duvuvdvu .
Прием эффективен при интегрировании функций логарифмической, обратных тригонометрических, а
также произведений функций степенной на показательную, тригонометрическую, обратную тригонометриче-
скую. Выбор множителя u (оставшийся множитель в интеграле есть
dv ) обусловлен такими соображениями:
¾ du должен иметь простой вид;
¾ первообразная
∫
= dvv должна легко отыскиваться;
¾
∫
duv должен оказаться проще
∫
dvu (т.е. исходного).
П р и м е р.
∫
+
= dxexJ
x21
.
Имеем произведение степенной и показательной функций. Выберем
x
u
=
. Тогда
dxedv
x21+
=
. Следова-
тельно
dxdu =
,
xx
edxev
2121
2
1
++
==
∫
.
По формуле 1.1.5 имеем
CexCexedxeexJ
xxxxx
+
−=+−=−=
+++++
∫
2121212121
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.
Заметим, что возможен был выбор dxxdveu
x
==
+
,
21
, но в результате бы интеграл vdu
∫
оказался слож-
нее исходного.
1.1.6
Интегрирование рациональных дробей. Речь идет о дробях – отношениях многочленов. Дробь пра-
вильная, если степень числителя меньше степени знаменателя и неправильная – в противном случае.
а) Если предстоит интегрировать правильную дробь, то ее знаменатель записываем в виде произведения
множителей типа
n
ax )( − и
()
m
qpxx ++
2
. После этого она представляется суммой слагаемых типа
)...,,1(
)(
nk
ax
A
k
k
=
−
и
()
)...,,1(
2
mk
qpxx
NxM
k
kk
=
++
+
интегрирование которых – стандартная задача.
П р и м е р.
∫
+
+−
= dx
xx
xx
J
23
2
88
3
.
Имеем:
1
)1(
3
22
2
+
++=
+
+−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
.
Если определить коэффициенты
А, В, С, то интегрирование сведется к табличному. Приводя дроби к общему
знаменателю, коэффициенты многочленов в левой и правой части (коэффициенты при одинаковых степенях)
будем иметь равными:
22
)1()1(3 CxxBxxAxx ++++=+− или AxBAxCBxx ++++=+− )()(3
22
,
откуда В + С = 1, А + В = –1; А = 3. Значит, В = – 4, С = 5 и
+++−
−
=
+
+−=
−
∫
Cxx
x
dx
xx
x
J 1ln5ln4
1
3
8
1
1
543
8
1
1
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
