Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1.2.1 К понятию определенного интеграла приводит задача о нахождении площади криволинейной трапе-
ции, ограниченной отрезком
],[ ba оси абсцисс, прямыми byax
=
=
, и графиком непрерывной на ],[ ba функ-
ции
)(xfy = .
Такую площадь, как оказывается, естественно вычислить в виде приращения первообразной F (x), (любой
из первообразных) на отрезке
],[ ba .
Число вида
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
называется определенным интегралом.
1.2.2 Формула интегрирования по частям имеет вид
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
duvuvdvu .
1.2.3 Если )(tx ϕ= монотонна на ],[
β
α , например, возрастает от a
x
=
к bx = при αβ≤≤t , то формула
замены переменных имеет вид
()
dtttfdxxf
b
a
)()()( ϕ
′
ϕ=
∫∫
β
α
(знак "минус" в правой части – в случае убывания
)(t
ϕ
).
Заменяя переменную под знаком определенного интеграла, следует переходить к новым пределам интег-
рирования, и, найдя первообразную, к старой переменной не возвращаться.
П р и м е р . Вычислить
∫
+
=
1
0
2
1
)arctg(cos
x
dxx
J
.
Решения. Положим
xt arctg= ; тогда
4
0
π
≤≤ t и
2
1 x
dx
dt
+
=
Имеем
2
2
0sin
4
sinsincos
4
0
4
0
=−
π
===
π
π
∫
ttdtJ
.
1.3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.3.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом ( )(xf
полагаем непрерывной на соответствующих интервалах):
а)
∫∫
∞→
∞
=
B
a
B
a
dxxfdxxf )(lim)( ; б)
∫∫
−∞→
∞−
=
b
A
A
b
dxxfdxxf )(lim)( ;
в)
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
+=
0
0
)()()( dxxfdxxfdxxf
(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).
Если в случаях а), б) указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходя-
щимся. В случае же в) исходный интеграл считается расходящимся, если таковым является хотя бы один из
интегралов в правой части равенства.
1.3.2 Интегралы от функций с разрывами второго рода определяются следующим образом (в п. а) и б)
параметр
0>ε ):
а)
)(xf имеет разрыв на левом конце отрезка ],[ ba , тогда
∫∫
ε+
→ε
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
;
б)
)(xf разрывна в точке b:
∫∫
ε−
→ε
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
;
в)
fx() имеет разрыв в точке cab∈(, ):
a + ε
b a
a b
b – ε

Страницы