ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).
В случаях, если соответствующий предел не существует или бесконечен (см. п. а), б)) интеграл называется
расходящимся; расходимость в случае п. в) определяется аналогично 1.3.1, в).
П р и м е р. dx
x
e
J
x
∫
−
=
−
1
0
1
1
.
Функция
x
e
xf
x
−
=
−
1
)(
1
имеет разрыв на правом конце промежутка интегрирования. Согласно п. б), 1.3.2
имеем:
=−=−−=
ε−
−
→ε
ε−
−
→ε
∫
1
0
1
0
1
0
1
0
lim21)2(lim
xx
exdeJ
(
)
=− −
=− − = −
→
2221
0
10
lim ( )
ε
ε
ee ee e.
1.4 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Перечислим основные геометрические приложения определенных интегралов.
1.4.1 Площадь фигуры
а) Если плоская фигура D ограничена линиями
,, bxax
=
=
)(),( xfyxgy
=
=
, где g и f – непрерывны на
],[ ba и )()( xfxg ≤ при ],[ bax ∈ , то ее площадь
[]
dxxgxfS
b
a
∫
−= )()(
.
В частности, при
0)( ≡xg имеем площадь криволинейной трапеции (см. п. 1.2.1).
б) Если
0)( ≥= xfy задана параметрически в виде:
=
=
),(
);(
tyy
txx
α
β
≤
≤
t ,
причем х пробегает отрезок
],{ ba при αβ≤≤t (т.е. 0)( >
′
tx , )(
α
=
xa , )(
β
=
fb ), то площадь криволинейной
трапеции находится по формуле
dttxtyS
∫
β
α
′
= )()(
.
Рис. 1.4.1
в) Площадь сектора, определяемого в
полярных координатах соотношениями
)(0,
ϕ
ρ
≤ρ≤β≤ϕ≤
α
, где )(
ϕ
ρ
– непре-
рывна на
],[ βα , (рис. 1.4.1) вычисляется
по формуле
ϕϕρ=
∫
β
α
dS )(
2
1
2
.
1.4.2 Длина дуги линии
а) Если линия L задана в декартовой системе координат уравнением
)(xfy
=
, то длина ее дуги, соответст-
вующей значениям
xab∈[, ], вычисляется по формуле
()
dxxfl
b
a
∫
′
+=
2
)(1 .
б) Дуга заданной параметрически линии
=
=
),(
);(
tyy
txx
в случае
],[ βα∈t имеет длину
()()
dttyxxl
∫
β
α
′
+
′
=
22
)()(
(предполагается монотонность
xt()
на отрезке
],[ βα ).
α
β
ρ
0
ρ = ρ (ϕ)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
