Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

б) Неправильную дробь можно представить как результат деления с остатком (деления "углом")
дробь
= частное +
ьзнаменател
остаток
,
после чего задача интегрирования сводится к цепочке известных задач.
1.1.7
Интегрирование некоторых типов иррациональностей:
а) Если в подынтегральном выражении с блоком
n
bax + и аргументом х выполняются лишь арифметиче-
ские действия, то вводится новая переменная
n
baxt += , откуда затем выражается х и вычисляется dx .
б) Если арифметические действия выполняются над блоками
m
bax + ,
n
bax + , ... и аргументом х, то пе-
ременная
t вводится по формуле baxt
N
+= , где N – наименьшее общее кратное чисел m, n, ...; далее поступаем
как в п. а).
Полученные в п. а), б) интегралы – интегралы рациональных функций переменной
t.
П р и м е р. dx
x
x
J
∫
+
=
1
4
.
Имеем интеграл типа 1.1.7, б). Общее наименьшее кратное показателей корней
4=N . Следовательно
xt =
4
, а тогда dttdx
3
4= . Значит
.arctg
3
1
4arctg
3
1
4
1
1
14
1
4
1
4
44
4
33
2
2
2
4
4
3
4
4
++−=
++−=
=
+
+−=
+
=
+
=
∫∫∫
CxxxCttt
dt
t
t
t
dtt
t
dttt
J
1.1.8
Интегрирование некоторых типов тригонометрических выражений
Универсальная тригонометрическая подстановка
22
2
2
1
2
;
1
1
cos;
1
2
sin;
2
tg
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
x
t
+
=
+
−
=
+
==
применяется, если подинтегральное выражение содержит только арифметические действия над
si n x
и co
s
x
;
при этом получаем интегралы типа 1.1.4, 1.1.6.
П р и м е р.
∫
+
=
x
dx
J
sin1
.
Положим
2
tg
x
t = ; согласно формулам 1.1.8 имеем
=++−=
++
=
+
+
+
=
−
∫∫
Ct
tt
dt
t
t
t
dt
J
1
222
)1(2
21
2
1
2
1:
1
2
2
tg1
2
x
C
+
−
.
1.1.9 Тригонометрические подстановки при интегрировании некоторых иррациональностей.
а) Если подинтегральное выражение содержит только арифметические действия над
х и
22
xa − , то при-
меняется замена
ta
x
cos=
(или tax sin= ), после чего taxa sin
22
±=− , dttadx sin
−
=
.
б) Если та же ситуация с х и
22
ax − , то полагаем
t
a
x
cos
= (или
t
a
x
sin
= ), тогда taax tg
22
±=− ,
dt
t
t
adx
2
cos
sin
= .
в) В случае же х и
22
ax +
полагаем tax tg= (или tax ctg
=
), тогда
t
a
ax
cos
22
±=+ , dt
t
a
dx
2
cos
= .
1.1.10 В заключение отметим, что любая непрерывная функция
)(xf обладает первообразной, но не для
всякой элементарной функции первообразная также будет элементарной. Так, например, через элементарные
функции не выражаются интегралы вида
∫∫∫
dx
x
x
x
dx
dxe
x
sin
,
ln
,
2
и др.
1.2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Страницы