ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
в) Частным случаем п. б) является задание линии в полярной системе координат уравнением
)(
ϕ
ρ
=
ρ
. В
этом случае
()( )
ϕϕρ
′
+ϕρ=
∫
β
α
dl
22
)()( .
П р и м е р. Найти длину дуги линии
20,
22
≤≤+=
−
xeey
xx
.
Заметим, что
′
=−
−
yee
xx
1
2
22
;
(
)
′
=−+
−
yee
xx
1
4
2
2
()
.
Следовательно, согласно 1.4.2 а), имеем
()
=++=+−+=
′
+=
∫∫∫
−−
dxeedxeedxyl
xxxx
2
0
2
0
2
0
2
2
2
1
2
4
1
1)(1 =
+=
∫
−
dxee
xx
2
0
2
22
2
1
e
e
1
−
.
1.4.3 Объем тела вращения. Тело, образованное вращением вокруг 0x криволинейной трапеции, ограни-
ченной осью 0x, прямыми
bxax == , и графиком )(xfy
=
( 0)( ≥xf при xab∈[, ]), имеет объем
dxxfV
b
a
∫
π= )(
2
.
П р и м е р. Найти объем тела, образованного вращением криволинейного треугольника вокруг оси 0x,
если треугольник ограничен осью 0x, прямой
4
π
=x
и графиком xy tg
=
.
Решение. Имеем
=
−π=
−
π=π=
∫∫∫∫
ππππ
4444
00
2
0
2
2
0
2
coscos
cos1
tg dx
x
dx
dx
x
x
dxxV
4
2
π
−π
.
2 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2.1.1 Пусть функция двух переменных ),( yxf непрерывна в замкнутой плоской области D. Если граница
D задана уравнением
bxax =
=
, , ),(xy
ϕ
= )(xy
ψ
=
причем ϕ и ψ непрерывны на ],[ ba и ),()( xx
ψ
≤
ϕ
],[ bax ∈ , то двойной интеграл в декартовых координатах (рис. 2.1.1) вычисляется в виде двукратного опреде-
ленного интеграла
dyyxfdxdydxyxf
x
x
b
aD
∫∫∫∫
ψ
ϕ
=
)(
)(
),(),(
.
Сначала вычисляется внутренний интеграл (при фиксированном х), а затем полученное (зависящее от х)
выражение интегрируется по промежутку
[, ]ab
.
В случае же, если граница D задана уравнениями
y
p
y
q
=
=
,, xy
=
µ
(), xvy= (), причем
µ
и
ν
непре-
рывны на
[, ]pq и
(
)
µ () () [ , ]yvyy pq≤∈, имеем (рис. 2.1.2)
dxyxfdydydxyxf
yv
y
q
pD
∫∫∫∫
µ
=
)(
)(
),(),(
Рис. 2.1.1 Рис. 2.1.2
В случае
Dyxyxf ∈> ),(,0),( двойной интеграл есть масса плоской пластины D с плотностью (в каждой
точке
),( yx ) ),( yxf=ρ .
y = ϕ (x)
y
y = ψ (x)
a
b
x 0
y
х
= µ (у)
х = ν (у)
x
q
0
p
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
