Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

П р и м е р ы. 1 Изменить порядок интегрирования
∫∫
=
x
x
dyyxfdxJ
22
2
0
3
2
1
),( .
Решение. Изобразим границу области
(уравнения соответствующих линий опреде-
ляются нижними и верхними пределами ин-
тегрирования):
xyxyxx 22,
2
1
,2,0
3
==== (рис. 2.1.3).
Если спроектировать область на ось 0у, то
yyy
12
≤≤ , где y
1
и y
2
определяются реше-
ниями системы уравнений:
3
2
1
xy =
,
xy 22=
.
Имеем
4,0
21
== yy , следовательно внешнее
Рис. 2.1.3
интегрирование теперь – по отрезку
]4,0[
. Чтобы определить пределы "внутреннего" интегрирования (по пе-
ременной х), следует выразить х (через у) из уравнений левой границы (точка входа горизонтальной прямой в
область)
yx= 22 и правой границы (точка выхода) yx=
1
2
3
. Имеем соответственно
8
2
y
x =
и
3
2yx = .
Поэтому
∫∫
=
3
8
2
2
4
0
),(
y
y
dxyxfdyJ .
2 Найти массу плоской пластины D, заданной плотности
2
24yx=ρ
, расположенной в плоскости х0y, если
D ограничена линиями
,2xy −=
2
x
y =
, 2=y .
Решение. Согласно 2.1.1 достаточно вычислить
∫∫
ρ
D
dydx , т.е.
∫∫
D
dydxyx
2
24 .
Внешнее интегрирование про-
изведем по у,
20 ≤≤ y . Во внут-
реннем интеграле х изменяется от
−
2
y
до 2y (х выражен соответст-
венно из уравнений левой и правой
границы; рис. 2.1.4). Итак,
Рис. 2.1.4
=
==
∫∫∫
−
−
2
0
2
3
2
2
2
0
2
2
3
2424
y
y
y
y
x
ydydxyxdyJ 41665
2
0
4
=
∫
dyy .
2.1.2 Если теперь область D расположена в полярной системе координат и ограничена лучами
β
=
ϕ
α=
ϕ
, и линиями )(
1
ϕ
ρ
=
ρ
и )(
2
ϕ
ρ
=
ρ
( )()(,
21
ϕ
ρ
≤
ϕ
ρ
β
<
α
при ],[
β
α
∈
ϕ
), то площадь области D вы-
числяется по формуле
∫∫
ϕρ
ϕρ
β
α
ρρϕ=
)(
)(
2
1
ddS .
П р и м е р. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, огра-
ниченной линией (заданной в декартовых координатах)
()
045
22
2
22
=−−+ yxyx
.
Решение. Отметим, что линия симметрична относительно обеих координатных осей (так как х и у в урав-
нении содержатся в четных степенях). Запишем уравнение границы в полярных координатах:
()
0sin4cos5
2222
2
2
=ϕρ−ϕρ−ρ откуда ϕ+=ρϕ+=ρ
222
cos4,cos4 .
Имеем (рис. 2.1.5)
y = x / 2
y
y = 2
y = –2x
x
2
41
–1
D
y
xy 22=
3
3
1
xy =
x
4
1 20

Страницы