Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.3 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ
2.3.1 Пусть сила
jyxQiyxPF ),(),( +=
перемещает материальную точку М из начала дуги – точки А,
в конец – точку В (рис. 2.3.1).
Рис. 2.3.1
Задача о вычислении работы силы F (со-
вершаемой вдоль
AB∪ линии L) приводит к
рассмотрению, так называемого, криволи-
нейного интеграла по координатам
dyyxQdxyxP
AB
),(),( +
∫
∪
.
2.3.2 Пусть дуга АВ расположена в области D, где P и Q – непрерывные функции. Если линия L имеет
параметрические уравнения
=
=
),(
);(
tyy
txx
причем положение точки А соответствует значению
α
=
t
, положение
B – значению
β=t , то
()()
[]
dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxP
AB
∫∫
β
α∪
′
+
′
=+ )()(),()()(),(),(),(
.
Если же линия L имеет уравнение
)(xy ϕ= , причем a
x
=
и bx
=
– абсциссы соответственно точек А и В,
то
()()
[]
dxxxxQxxPdyyxQdxyxP
b
aAB
∫∫
ϕ
′
ϕ+ϕ=+
∪
)()(,)(,),(),(.
Смысл формул состоит в том, что выражения для х и у из уравнений линии подставляем в подынте-
гральное выражение
dyQdxP + (при этом вычисляем дифференциалы dx и
dy
), после чего производим интег-
рирование в границах изменения параметра.
П р и м е р. Вычислить работу силы
(
)
jxixyF 43
3
++= по перемещению материальной точки вдоль кон-
тура
yx=
3
из начального положения 0 с абсциссой x
1
0= в положение В с абсциссой x
2
1= .
Решение. Имеем вектор
jQiPF += с координатами
.4,3
2
xQxyP =+=
Тогда работа (при
10,
3
≤≤= xxy ) есть
()
4343
1
0
233
=++=
∫
dxxxxxJ .
3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
3.1.1 Уравнение вида ),( yxfy =
′
будем рассматривать как задачу о нахождении функции )(xyy = , кото-
рая при подстановке вместо у обращает это соотношение в тождество.
На самом деле в процессе интегрирования определится класс решений
),( Cxyy
=
, где С – произвольная
постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения. При каждом конкретном
значении
0
CC = получаем "частное решение" ),(
0
Cxyy
=
.
Задача вида
=
=
′
,)(
);,(
00
yxy
yxfy
называется задачей Коши.
3.1.2 Дифференциальное уравнение вида
)()( ygxfy
=
′
называется уравнением с разделяющимися переменными.
П р и м е р.
(
)
xyyx ln4
2
+=
′
. Найти общее решение.
Имеем уравнение в разделяющимися переменными
F
М
А
В
х
у
0

Страницы