Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
xy
dx
dy
x ln4
2
+= .
Умножим обе части на
dx , поделим на
(
)
2
4 yx + и произведем интегрирование:
C
xy
xdx
y
dy
2
1
2
ln
2
arctg
2
1
;)(lnln
2
2
22
+==
+
∫∫
.
Итак, получено общее решение
Cx
y
+=
2
ln
2
arctg .
3.1.3 Уравнение вида
=
′
x
y
fy
или приводящееся элементарными преобразованиями к указанному виду, называется однородным. Заменой
переменных
x
y
t = (откуда
xtty
′
+=
′
), уравнение преобразуется к рассмотренному типу 3.1.2.
3.1.4 Уравнение вида
)()( xqyxpy
=
+
′
называется линейным, а уравнение
)1,0()()( ≠γ=+
′
γ
yxqyxpy носит имя Бернули.
Общее решение имеет вид
),()( Cxuxvy = , где выбор функций u и v поясним на следующем приме-
ре.
П р и м е р.
x
e
x
y
y 2
2
=−
′
. Найти общее решение.
Имеет линейное уравнение; положим
uvy
=
, тогда vuvuy
′
+
′
=
′
. Подставляя в уравнение, получим
x
e
x
uv
vuvu 2
2
=−
′
+
′
или
x
e
x
v
vuvu 2
2
=
−
′
+
′
.
Пусть
0
2
=−
′
x
v
v , тогда
x
evu 2=
′
.
Решаем последовательно, разделяя переменные, полученные уравнения
а)
;
2
;0
2
∫∫
==−
x
dx
v
dv
x
v
dx
dv
откуда
ve
x
= (выбрана одна из первообразных v (х)).
б)
x
evu 2=
′
или
xx
ee
dx
du
2=
; значит dxdu 2
=
, откуда Cxu
+
=
2 (в отличие от случая а) здесь ищет-
ся общее решение).
Поскольку
uvy = , то ответ имеем в виде
()
x
eCxy += 2 .
3.2 УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.2.1 Функция )(xyy = есть решение уравнения
),,( yyxfy
′
=
′
′
(уравнение второго порядка соответственно порядку старшей производной), если при ее подстановке в урав-
нение оно обращается в тождество. Общее решение
),,(
21
CCxyy = (или 0),,,(
21
=
Φ
CCyx )
зависит от двух произвольных постоянных. Задача Коши имеет вид
′
=
′
=
′
=
′′
,)(
;)(
);,,(
00
00
yxy
yxy
yyxfy
где
()
000
,, yyx
′
– заданная точка пространства; чтобы удовлетворить начальным условиям, следует соответст-
вующим образом подобрать
1
C и
2
C .
3.2.2 В следующих случаях путем надлежащей замены переменных уравнение второго порядка решается
последовательным рассмотрением двух уравнений первого порядка (понижение порядка):
а)
′′
=yfx
(); б) ),( yxfy
′
=
′
′
; в) ),( yyfy
′
=
′
′
.

Страницы