Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

xey
x
2
3
cos
2
1
−
= , xey
x
2
3
sin
2
2
−
=
и
+=
−
xCxCey
x
2
3
sin
2
3
cos
21
2
– общее решение.
3.2.4 Линейное неоднородное уравнение (ЛНУ) второго порядка имеет вид
)(xfqyypy
=
+
′
+
′
′
.
Ограничимся случаем постоянных коэффициентов qp, . Уравнение 3.2.3 будем называть соответствующим
ему ЛОУ. Пусть
ч
y – некоторое частное решение ЛНУ, а
22110
yCyCy
+
=
общее решение соответствующего
ЛОУ.
Тогда общее решение ЛНУ есть
ч0
yyy
+
=
.
Если fx() имеет следующий специальный вид
(
)
xxQxxPexf
mn
x
β+β=
α
sin)(cos)()( ,
где Р и Q – многочлены соответствующих степеней, то
(
)
xQxxPexy
NN
xr
β+β=
α
sin
~
cos)(
~
ч
.
Здесь N – наибольшая из степеней n и m многочленов; r – количество совпадений "контрольного числа"
β+α= iS с корнями
21
, λλ характеристического уравнения. Так, в случае
()
const)( ==
α
AeAxf
x
,имеем
xr
eMxy
α
=
ч
, где параметр М определяется по методу неопределенных коэффициентов (см. пример).
П р и м е р.
x
eyyy 332 =−
′
−
′′
. Найти общее решение.
Характеристическое уравнение
032
2
=−λ−λ имеет корни 3
1
=
λ
, 1
2
−=λ , следовательно,
xx
eCeCy
−
+=
2
3
10
.
Перейдем к нахождению
ч
y ; так как
x
exf
1
3)( = , то 1
=
α
и контрольное число 1=α=S . Поскольку
1
λ≠S ,
2
λ≠S , то 0=r , и
x
Mey =
ч
. Осталось определить коэффициент М. Как указано выше, находим
xx
MeyMey =
′′
=
′
чч
,
и подставляем в неоднородное уравнение:
xxxx
eMeMeMe 332 =−− , откуда
4
3
−=M .
Итак,
x
ey
4
3
ч
−=
и общее решение имеет вид
xxx
eeCeCy
4
3
2
3
1
−+=
−
.
3.3 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
3.3.1 Как отмечалось выше, общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка
содержит две произвольных постоянных (две "степени свободы"). Частное решение может быть выделено из
общего путем задания двух начальных условий. Например, в механике это может быть задание положения
движущегося объекта в начальный момент и начальной скорости. Однако, может быть задано также положение
объекта в два различных момента времени. Например, процесс механических колебаний объекта массы m отно-
сительно положения равновесия описывается уравнением
)(tfkyyhym
=
+
′
+
′
′
,
где
)(tyy = – отклонение в момент t точки от положения равновесия; h – коэффициент трения; k – коэффициент
упругости восстанавливающей силы;
)(tf – внешняя сила. Если задать положения
α
и β объекта в моменты соответ-
ственно τ и
∗
τ
β=τ
α=τ
∗
)(
)(
y
y
,
то приходим к так называемой краевой задаче. Подобная математическая модель возникает и в задаче об электри-
ческих колебаниях и др.
П р и м е р. Механические колебания материальной точки описываются уравнением
t4
178
−
=+
′
+
′′
еууу ,
причем положение точки в начальный момент и в момент 1
=
t заданы:
0100
=
=
)(,)( yy .
Определить отклонение
)(ty точки от положения равновесия в любой момент времени t.

Страницы