Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Найдем общее решение ЛНУ. Характеристическое уравнение для соответствующего ЛОУ имеет
корни i±−=λ 4
2,1
, поэтому общее решение ЛОУ получаем в виде )sincos(
21
4
0
tCtCеу
t
+=
−
.
Поскольку контрольное число
4−=S
не совпадает ни с одним из корней, то
t
Меу
4
ч
−
= . Находя
t
Меу
4
ч
4
−
−=
′
и
t
Меу
4
ч
16
−
=
′′
и подставляя результаты в ЛНУ, получаем
tttt
eMeMeMe
4444
173216
−−−−
=+− , откуда 1
=
М
,
так что
t
еу
4
ч
−
= .
Следовательно,
)sincos1(
21
4
ч0
tCtCеууу
t
++=+=
−
– общее решение ЛНУ.
Теперь подставим краевые условия:
0=t и ,0
=
y 1
=
t и 0
=
y :
=++
=++
−
.0)1sin1cos1(
;001
21
4
1
CСе
С
Решая систему, получаем:
+−
=
−=
.
1sin
1cos1
;1
2
1
C
C
Окончательно,
−
+−=
−
ttetу
t
sin
1sin
11cos
cos1)(
4
– искомое отклонение в любой момент времени t.
3.4 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.4.1 Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
+=
+=
,
;
qypx
dt
dy
byax
dt
dx
const,,,
=
qpba .
Общее решение ищем следующим образом:
а) составим характеристическое уравнение вида
0=
λ−
λ−
qp
ba
;
б) в соответствии с его корнями
21
, λλ построим ФСР
{
}
)(),(
21
tyty и общее решение
−=
+=
).(
1
);()(
2211
qyy
p
x
tyCtyCy
П р и м е р. Найти общее решение системы
−=
+−=
.69
;46
yxy
yxx
Имеем характеристическое уравнение
)6,9,4,6(
−
=
=
=
−
= qpba
0
69
46
=
λ−−
λ−−
т.е. 036)6(
2
=−λ−− ,
откуда
12,0,66
21
−=λ=λ±=+λ .Следовательно,
tt
eCCyeyey
12
21
12
2
0
1
;;1
−−
+==== .
Далее, из второго уравнения системы
)6(
9
1
yyx +=
.
Поскольку
()
tt
eCeCCy
12
2
12
21
12
−−
−=
′
+=
, то
(
)
t
eCCx
12
21
3
2
−
−= .
Итак,
(
)
+=
−=
−
−
.
;
3
2
12
21
12
21
t
t
eCCy
eCCx
Замечание. Решение системы можно понимать как совокупность возможных траекторий (законов движения) ма-
териальной точки в плоскости, найденную по известной зависимости координат
yx
, вектора скорости jyix
+=v от
плоских координат этой точки.

Страницы