ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
а)
(
)
∫
+
−+
−
dx
x
ex
x
1
412
2
12
;
б)
∫
− xx
dx
52
1 sinarc
;
в)
∫
−−
2
23 xx
dx
;
г)
∫
dxxxln .
11 – 20 Найти неопределенные интегралы.
11
∫
+
+
dx
xx
x
23
3
4
1
;
12
(
)
()
∫
++
−
168
1
2
xxx
dxx
;
13
∫
+ dx
xx
66
1
22
coscos ;
14
∫
dx
x
x
sin
cos
3
; 15
∫
+
−
dx
x
x
8
1
3
3
;
16
∫
dx
x
12
4
sin ;
17
dxxx
∫
43
cossin ;
18
∫
dx
x
x
6
3
cos
sin
;
19
()
()
∫
−+
+
dx
xx
x
51
5
2
;
20
()()
∫
−+
+
.dx
xx
x
2
2
14
2
Если fx() имеет следующий специальный вид
(
)
xxQxxPexf
mn
x
β+β=
α
sin)(cos)()( ,
где Р и Q – многочлены соответствующих степеней, то
(
)
xQxxPexy
NN
xr
β+β=
α
sin
~
cos)(
~
ч
.
Здесь N – наибольшая из степеней n и m многочленов; r – количество совпадений "контрольного числа"
β+α= iS с корнями
21
, λλ характеристического уравнения. Так, в случае
()
const)( ==
α
AeAxf
x
,имеем
xr
eMxy
α
=
ч
, где параметр М определяется по методу неопределенных коэффициентов (см. пример).
П р и м е р.
x
eyyy 332 =−
′
−
′′
. Найти общее решение.
Характеристическое уравнение
032
2
=−λ−λ имеет корни 3
1
=
λ
, 1
2
−=
λ
, следовательно,
xx
eCeCy
−
+=
2
3
10
.
Перейдем к нахождению
ч
y ; так как
x
exf
1
3)( = , то 1
=
α
и контрольное число 1=α=S . Поскольку
1
λ≠S ,
2
λ≠S , то 0=r , и
x
Mey =
ч
. Осталось определить коэффициент М. Как указано выше, находим
xx
MeyMey =
′′
=
′
чч
, и подставляем в неоднородное уравнение:
xxxx
eMeMeMe 332 =−−
, откуда
4
3
−=M
.
Итак,
x
ey
4
3
ч
−= и общее решение имеет вид
xxx
eeCeCy
4
3
2
3
1
−+=
−
.
3.3 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
3.3.1 Как отмечалось выше, общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка
содержит две произвольных постоянных (две "степени свободы"). Частное решение может быть выделено из
общего путем задания двух начальных условий. Например, в механике это может быть задание положения
движущегося объекта в начальный момент и начальной скорости. Однако, может быть задано также положение
объекта в два различных момента времени. Например, процесс механических колебаний объекта массы m отно-
сительно положения равновесия описывается уравнением
)(tfkyyhym
=
+
′
+
′
′
,
где
)(tyy = – отклонение в момент t точки от положения равновесия; h – коэффициент трения; k – коэффициент
упругости восстанавливающей силы;
)(tf – внешняя сила. Если задать положения
α
и
β
объекта в моменты соответ-
ственно τ и
∗
τ
β=τ
α=τ
∗
)(
)(
y
y
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
