ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
В случаях а), б) вводится новая переменная
yxz
′
=
)( , тогда
xd
zd
y =
′′
, в случае в) полагаем )( ypy =
′
, то-
гда
yd
pd
py =
′′
.
П р и м е р. Решить задачу Коши
(
)
=
′
=
=+
′′
.9)0(
;31)0(
;09
2
y
y
yyy
Имеем случай 3.2.2, в). Полагая
()
ypy =
′
, получим
dy
dp
py =
′′
. Следовательно 0
9
2
=+
y
dy
dp
yp или (разде-
ляя переменные)
dy
y
dpp
3
9
−= ,
откуда
2
2
9
2
,9
1
2
2
3
C
y
p
dyydpp +=−=
∫∫
−
, т.е.
()
1
2
2
9
C
y
y +=
′
.
Постоянную
1
C можно найти уже на этом этапе, если, положив 0
=
x , использовать начальные условия:
9)0(,
3
1
)0( =
′
= yy
:
9
9
1
9
81 81 0
2
11
=+ =−=CC; .
Значит, решаем уравнение
()
y
y
y
y
3
,
9
2
2
=
′
=
′
(при извлечении корня для определенности выбран знак
плюс; это оправдано тем, что в точке
0=x , у и y
′
имеют одинаковый знак). Разделяя переменные, имеем
Cxy += 6
2
, и так как
3
1
)0( =y
, то
3
541
т.е.,
9
1
6
2
x
yxy
+
=+=
.
3.2.3 Линейное однородное уравнение (ЛОУ) второго порядка с постоянными коэффициентами – это
уравнение
const,,0
=
=
+
′
+
′′
qpqyypy .
Его общее решение имеет вид
2211
yCyCy += , где )(
11
xyy
=
и )(
22
xyy
=
– так называемая фундамен-
тальная система решений (ФСР), которая определяется следующим образом:
а) строится характеристическое уравнение (квадратное уравнение с теми же коэффициентами):
0
2
=+λ+λ qp ;
б) если оно имеет действительные различные корни
λ
1
и λ
2
(дискриминант 04
2
>−= qpD ), то
x
ey
1
1
λ
=
,
x
ey
2
2
λ
=
;
в) если корни уравнения
λ=λ=λ
21
(дискриминант 0
=
D ), то
x
ey
λ
=
1
,
x
exy
λ
=
2
;
г) если характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни
(
)
0;1,
2
21
<−=−=λ+=λ Diibaiba ,
то
bxey
ax
cos
1
=
,
bxey
ax
sin
2
=
.
В частности, если ib±=λ , то
bxy cos
1
= , bxy sin
2
=
.
П р и м е р ы. 1) Найти общее решение
0522
=
+
′
+
′
′
yyy .
Корни характеристического уравнения 2250
2
λλ++= имеют вид
i
2
3
2
1
2,1
±−=λ
(см. случай г)). Следовательно,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
