Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.1.5
()
=ϕϕ+=ρρϕ=
∫∫∫
ππ
ϕ+
2
2
2
0
2
cos4
00
cos4
2
1
4
1
dddS
8
9π
= .
Отсюда
2
9π
=S
.
2.2 ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2.2.1 Определение тройного интеграла вводится в связи с физической задачей о массе тела. Пусть функция
трех переменных
),,( zyxf непрерывна в замкнутой пространственной области V, причем V проектируется в
плоскую область D на х0у. Если V ограничена снизу поверхностью
),( yxz
ϕ
=
, сверху – поверхностью
),( yxz ψ= (функции ϕ и ψ непрерывны в D), а боковая поверхность – цилиндрическая с образующей, парал-
лельной оси 0z (направляющей служит граница D), то тройной интеграл функции f по области V вычисляется в
виде
dzzyxfdydxdzdydxzyxf
yx
yxDV
∫∫∫∫∫∫
ψ
ϕ
=
),(
),(
),,(),,( .
Сначала вычисляем внутренний интеграл (по переменной z) при фиксированных х и у. Затем результат –
функцию от х и у – интегрируем по области D.
2.2.2 Физический смысл тройного интеграла при
0>f – масса тела, расположенного в области V и
имеющего плотность
),,( zyxf=ρ . В частности, при 1
=
f , имеем объем v области V:
∫∫∫
=
V
dzdydxv .
П р и м е р. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
2,,
2
,1,0
22
===++== yxy
x
yyxzz .
Имеем (рис 2.2.1 и 2.2.2):
Рис. 2.2.1
Рис. 2.2.2
()
dydxyxzdydxdzdydxv
D
yx
D
yx
D
∫∫∫∫∫∫∫
++=
==
++
++
1
22
1
0
1
0
22
22
=
=
()
3
46
)1
2
0
2
22
=++
∫∫
dxyxdy
y
y
.
ρ
1
5
2
20
z
х
у
20
х
у
4 3 2 10
1
2
D

Страницы