Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ВВЕДЕНИЕ
В настоящем пособии излагаются основные понятия и факты теории функций комплексного переменного. Изложение
ведется в рамках федерального компонента образовательного стандарта в области общих математических и естественнона-
учных дисциплин для студентов, обучающихся по специальностям, связанным с компьютерными технологиями и обеспече-
нием информационной безопасности. Высокая востребованность соответствующих специалистов и определенная популяр-
ность в молодежной среде всего, что связано с компьютерами, обусловили приток в вузы учащихся с весьма неоднородной
математической подготовкой. В связи с этим возникла необходимость в создании разноуровневых учебных пособий, в том
числе и направленных на первичное ознакомление с предметом.
Настоящее пособие соответствует указанной цели. Его чтение требует знания, в основном, главных положений дифферен-
циально-интегрального исчисления функций одной и нескольких действительных переменных. Изложение сопровождается
большим количеством примеров, как подробно решенных, так и предлагаемых для самостоятельного решения. Автор стремил-
ся к изложению доступному и достаточно краткому, в связи с чем некоторые объемные и сложные доказательства опущены или
указаны лишь их идеи. Обращается внимание читателя на те специфические свойства функций, производных, интегралов, ко-
торые они приобретают с выходом в комплексную плоскость. Вместе с тем ряд тонких вопросов комплексного анализа опущен
вообще или изложен лишь на уровне понятий и перечисления фактов. Такими являются, например, конформные отображения,
вычеты относительно бесконечно удаленной точки, аналитическое продолжение и др.
Автор стремился к тому, чтобы материал согласовывался с другими разделами курса математики, мог быть использован
в приложениях и соответствовал требованиям, предъявляемым к математической подготовке современных специалистов.
Г л а в а 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1. ЗАДАЧА О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1
0
. Процесс освоения понятия числа состоит из нескольких этапов.
а) Рассмотрение натуральных чисел, т.е. чисел, употребляемых при счете. Их множество обозначается буквой N:
{}
....,2,1=N
б) Расширение N до множества Z всех целых чисел; необходимость такого расширения возникает, так как во множест-
ве N не всегда выполнима операция вычитания; например
(
)
.52 N
∉
−
Итак, вводится множество
{}
,...,2,1,0,1,2...,
−
−=Z
при этом
.ZN ⊂
в) Расширение Z до множества Q всех рациональных чисел, т.е. множества всех дробей вида
,
n
m
где .0,,
≠
∈
nnm
Z
В
классе чисел Q (в отличие от Z) всегда выполнимо деление на любое целое n,
.0
≠
n Поскольку каждое целое число m есть
дробь со знаменателем, равным единице, то
.QZ ⊂ Заметим, что всякое рациональное число есть либо конечная, либо бес-
конечная периодическая десятичная дробь.
г) Извлечение корня n-й степени (действие, обратное возведению в натуральную степень) не всегда выполнимо в Q.
Дополним множество Q всевозможными десятичными непериодическими дробями (иррациональными числами). В по-
лученном множестве R всех действительных чисел уже всегда возможно извлечение корня нечетной степени; корень четной
степени может быть извлечен из любого неотрицательного действительного числа. Ясно, что
.
R
Q ⊂ Остается невыполни-
мым извлечение корня четной степени из отрицательного числа; например
1− не существует в R. Следовательно, требует-
ся дальнейшее расширение R до такого множества C, в котором оказалось бы выполнимым и указанное действие (например,
были бы разрешимы квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами).
Построением C (так чтобы
C
R
⊂ ) мы и будем заниматься в главе I.
1.2. МНИМАЯ ЕДИНИЦА. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1
0
. В выбранной прямоугольной системе координат точка (1, 0) соответствует числу 1 на числовой оси абсцисс (оси
действительных чисел), а точка (0, 1) – числу 1 на оси ординат. Чтобы отличать по написанию эти две единицы, последнюю
обозначим буквой i и назовем мнимой единицей. Итак, точка (0, 1) отождествляется с мнимой единицей; всякое же другое

Страницы