Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

число оси ординат, отвечающее точке (0, y), теперь естественно записать в виде yi и назвать чисто мнимым числом; сама ось
OY будет далее называться мнимой осью (тогда как OX – действительная ось).
2
0
. Произвольную упорядоченную пару x, y действительных чисел ("комплекс" из двух действительных чисел), соответ-
ствующую точке (x, y) координатной плоскости, назовем комплексным числом.
Перейдем к так называемой алгебраической записи (форме) комплексного числа.
3
0
. Произвольная точка
()
,, yx расположенная в прямоугольной системе координат XOY, есть конец радиус-вектора
21
ee
r
r
r
yxz
+
=
, (1.2.1)
где
1
e и −
2
e единичные направляющие вектора координатных осей OX (конец вектора расположен в точке 1 этой оси) и OY
(конец вектора
2
e расположен в точке i). Соответственно, по аналогии с векторной записью (1.2.1) для точки z с координа-
тами
()
yx, будем употреблять запись
yixz +
=
(1.2.2)
и говорить теперь, что z – это комплексное число вида (1.2.2).
Итак, между точками
()
yx, и комплексными числами вида (1.2.2) установлено взаимно однозначное соответствие. Сама
же плоскость (со введенной в ней прямоугольной системой координат) называется комплексной плоскостью. В частности,
для действительного числа x естественна запись
,0 ixx
⋅
+
=
что соответствует точке
(
)
;0,x и теперь мы не делаем различия
между действительными числами x и комплексными числами вида
.0 ix
⋅
+
Для чисто мнимого iy ⋅ , соответствующего точке
()
y,0 , употребима запись ,0 yiyi += т.е. любое .C
∈
yi
Итак, множество
C всех комплексных чисел содержит своим подмножеством R.
4
0
. Числа вида
yixz +=
и
yixz −
=
называются комплексно-сопряженными. Они изображаются точками, симметрич-
ными относительно оси OX, см. рис. 1.2.1.
Модулем комплексного числа называется длина (модуль) радиус- вектора точки
(
)
yx, , т.е.
.
22
yxz += (1.2.3)
В частности, модуль действительного числа ixx
⋅
+= 0 есть
2
x , т.е. он равен абсолютной величине числа x; аналогично
.
2
yyiy ==
Рис. 1.2.1
5
0
. Действительной частью числа iyxz += называется x, а мнимой частью – число y; применяем обозначения
.Im,Re zyzx ==
Комплексные числа
iyxz
111
+= и iyxz
222
+= называются равными, если совпадают их действительные и мнимые час-
ти. Другими словами,
=
=
⇔=
.
;
21
21
21
yy
xx
zz
(1.2.4)
Геометрически соотношение
21
zz = означает совпадение соответствующих точек комплексной плоскости.
Комплексные числа не сравниваются, т.е. во множестве
C не вводятся отношения "больше" и "меньше".
1.3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД
КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Страницы