Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В связи с таким свойством числа i употребляют запись 1−=i ; ясно, что
R
∉
i ; теперь становится понятно, почему
число i названо мнимой единицей. Заметим, что умножение (1.3.1) комплексных чисел выполняется по правилу умножения
многочленов с заменой
2
i на –1.
Легко проверить справедливость коммутативного и ассоциативного законов:
() ()
,
;
321321
1221
zzzzzz
zzzz
=
=
а также дистрибутивного закона умножения относительно сложения:
(
)
.
3231321
zzzzzzz
+
=
+
Полезен следующий факт:
()() ( )
.
2
2222
zyxiyxxyyxiyxiyxzz =+=−++=−+=⋅ (1.3.2)
4
0
. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Именно,
,
2
1
z
z
z =
если ,
21
zzz = где .0
2
≠z (1.3.3)
Получим формулу, по которой можно найти частное двух комплексных чисел, iyxz
111
+
=
и iyxz
222
+= .
Если
iyxz += , то на основании определения (1.3.3) мы должны получить
(
)
(
)
,
2211
iyxiyxiyx
+
+
=
+
т.е.
(
)
(
)
222211
xyyxiyyxxiyx
+
+
−
=
+
и, по определению равенства комплексных чисел, имеем
=+
=−
.
;
122
122
yyxxy
xyyxx
Осталось найти решение
()
yx, этой системы уравнений; умножив первое уравнение на
2
y , второе на
()
2
x− и сложив их,
получим:
(
)
,
1221
2
2
2
2
yxyxyxy −=+− или
.
2
2
2
2
2112
yx
yxyx
y
+
−
=
Аналогично находим:
,
2
2
2
2
2121
yx
yyxx
x
+
+
=
т.е.
i
yx
yxyx
yx
yyxx
z
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
+
−
+
+
+
=
. (1.3.4)
Формулой (1.3.4) устанавливается не только существование и единственность частного, но также указывается и способ
его нахождения. Решая конкретные примеры, можно пользоваться способом одновременного умножения числителя и знаме-
нателя дроби на число, сопряженное знаменателю. Согласно (1.3.2), имеем
()
(
)
()()
(
)
(
)
,
2
2
2
2
21122121
2222
2211
22
11
yx
iyxyxyyxx
iyxiyx
iyxiyx
iyx
iyx
z
+
−++
=
−+
−+
=
+
+
=
и мы снова получили формулу (1.3.4).
5
0
. Выполняя сложение (вычитание), умножение и деление комплексных чисел, придерживаемся привычных свойств и
порядка действий. Например:
() ()
(
)
()
()( ) ()()
()()
()
.
5
29
5
37
14
2937
22
2199
2
199
2
145
2
324
5
2
322
5
2
3
25
2
i
i
ii
ii
i
i
i
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
−
−
=
+
+−
=
+−
−+−
=
+
−−
=
+
+−
=
=
+
++
−=
+
++
−=
+
+−
1.4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
1
0
. Совместим стандартным образом прямоугольную и полярную системы координат: полярную ось направим по оси
OX, полюс системы совмещаем с точкой
()
;0,0O выбираем в обеих системах одинаковые единицы масштаба; ось OY направ-
ляем по лучу
.
2
π
=ϕ
В этом случае прямоугольные координаты
(
)
yx, и полярные координаты
()
ϕρ, одной и той же точки z
связаны соотношениями (см. рис. 1.4.1):

Страницы