ВУЗ:
Составители:
а)
2
1
z
z
; б)
4
1
z
, где iz 33
1
+
−
=
; .26
2
iz −=
Р е ш е н и е. а) Найдем модуль и аргумент каждого из чисел
1
z и
2
z . Имеем
()
,2333
2
2
1
=+−=z .1
3
3
tg
1
−=
−
=ϕ
Поскольку точка
1
z расположена во 2-й четверти, то
(
)
=
−
+
π
=
=
ϕ
1tgarcarg
11
z .
4
3
4
π
=
π
−π=
Аналогично,
()
26260
2
2
=−+=z ;
2
tg ϕ не существует, но по расположению точки
2
z на оси OY (в нижней полуплоскости) видим,
что
2
arg
22
π
−==ϕ z
. Следовательно, в тригонометрической форме (см. рис. 1.4.2)
,
4
3
sin
4
3
cos23
1
π
+
π
= iz
.
2
sin
2
cos26
2
π
−+
π
−= iz
Теперь, согласно формуле (1.4.3),
.
24
3
sin
24
3
cos
26
23
2
1
π
+
π
+
π
+
π
= i
z
z
Рис. 1.4.2
Исключая период π2 под знаком косинуса и синуса, имеем
.
4
3
sin
4
3
cos5,0
2
1
π
−+
π
−= i
z
z
б) По формуле (1.4.4) получаем:
()
()
.sincos324;
4
3
4sin
4
3
4cos23
4
1
4
4
1
π+π=
π
⋅+
π
⋅= izz
В алгебраической форме .324
4
1
−=z
П р и м е р 2. Выяснить геометрический смысл соотношений:
а) ρ=−
0
zz ; б) ρ<−
0
zz ; в) ρ>−
0
zz ,
где ρ > 0 и −
0
z фиксированное комплексное число; г)
3
arg
π
=z .
Р е ш е н и е. а) Записав
iyxz
+
=
, iyxz
000
+
=
и выполняя вычитание, имеем
()()()()
2
0
2
0000
yyxxiyyxxzz −+−=−+−=− . Следовательно, равенство
ρ=−
0
zz
означает, что
()()
2
2
0
2
0
ρ=−+− yyxx . Получили уравнение окружности радиуса
ρ
с центром в точке
(
)
00
, yx .
Итак, геометрический образ уравнения
ρ=−
0
zz – это все точки окружности с центром
0
z радиуса
ρ
.
Аналогично
ρ<−
0
zz означает, что
()
(
)
2
2
0
2
0
ρ<−+− yyxx , т.е. геометрическим образом этого неравенства служит
множество всех внутренних точек круга;
ρ>−
0
zz – множество всех точек, расположенных вне круга; центр круга и
радиус – те же:
0
z и ρ соответственно (рис. 1.4.3).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
