Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

б) Так как
z
arg=ϕ есть угол поворота оси OX до совмещения с точкой z
(
)
π
≤
ϕ
<
π
−
, то все точки z, обладающие
свойством
3
arg
π
=z
, лежат на луче
3
π
=ϕ
(на этом луче исключена точка 0
=
z , аргумент которой не определен); см. рис.
1.4.3.
p
p
p
Рис. 1.4.3
1.5. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1
0
. Пусть
{}
...,3,2∈n . Корнем n-й степени из числа z назовем число
n
zw = , обладающее свойством zw
n
= . Устано-
вим, что при всяком
0≠z существует ровно n различных значений корня, которые имеют вид
;1...,,1,0,
2
sin
2
cos −=
π+ϕ
+
π+ϕ
ρ= nk
n
k
i
n
k
w
n
n
(1.5.1)
здесь ρ и ϕ – соответственно, модуль и аргумент числа z, т.е.
(
)
ϕ
+
ϕ
ρ
=
sincos iz ; значение
n
ρ понимается как арифметиче-
ский корень из положительного числа
ρ, так что 0>ρ
n
.
2
0
. Итак, мы доказываем формулу (1.5.1).
Если
()
Φ+Φ= sincos iww
– тригонометрическая форма числа w, то, по определению, zw
n
= , т.е. в силу (1.4.4),
()()
.sincossincos ϕ+ϕρ=Φ+Φ ininw
n
Значит, ρ=
n
w , откуда
n
w ρ=
(имеется в виду принятое во множестве действительных чисел извлечение арифметиче-
ского корня). Аргументы nФ и ϕ равных комплексных чисел могут (находясь под знаком косинуса и синуса) отличаться
лишь на величину периода
,,2 Ζ∈π= kkT так что
kn π+ϕ=Φ 2 , откуда .;
2
Z∈
π+ϕ
=Φ=Φ k
n
k
k
Покажем, что достаточно рассмотреть
{}
1...,,1,0
−
∈ nk . Для этого, прежде всего, выясним, как расположены точки
(1.5.1) на комплексной плоскости. Во-первых, все они имеют один и тот же модуль, равный
n
ρ , а значит, находятся на ок-
ружности с центром в начале координат радиуса
n
ρ . Во-вторых, при 0
=
k точка
0
w имеет полярный угол
n
ϕ
=Φ
0
, а по-
лярный угол следующей точки
1
w отличается на величину 1
2
⋅
π
n
, т.е. .
2
1
nn
π
+
ϕ
=Φ
Далее,
;
2
...,,
22222
2112
nnnnnn
nn
π
+Φ=Φ
π
+Φ=
π
+
π
+
ϕ
=
⋅π+ϕ
=Φ
−−
...,2π+
ϕ
=Φ
n
n
.
Таким образом, каждая следующая точка
k
w получается из предыдущей
1−k
w поворотом против часовой стрелки на величи-
ну
n
π2
, а точка
n
w совпала с
0
w (совершен поворот на
π
2 ). С дальнейшим ростом k

Страницы