Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.5.1
опять получаем точки ....,,,
121 −n
www При отрицательных k, т.е. ...,2,1
−
−
=
k имеем обход тех же точек по часовой стрелке,
т.е. в обратном порядке:
....,,,
021
www
nn −−
Итак, только n различных точек получаемых, например при ,1...,,1,0
−
= nk соот-
ветствуют операции извлечения корня n-ой степени; см. рис. 1.5.1. Формула (1.5.1) установлена. Заметим, что
00 =
n
можно
понимать как n совпадающих значений, равных нулю.
3
0
. Непосредственно из определения корня n-й степени вытекают привычные свойства соответствующей операции, на-
пример,
.0,; ≠=η=η t
t
z
t
z
zz
n
n
n
n
n
n
Эти равенства следует понимать как совпадение множеств значений выражений в левых и правых частях.
3
0
. П р и м е р 1. Вычислить
2
a , где 0>a – действительное число.
Р е ш е н и е. Запишем число
2
a в тригонометрической форме:
(
)
0sin0cos
22
iaa += .
По формуле (1.5.1)
.1;0,
2
20
sin
2
20
cos
2
=
π+
+
π+
= k
k
i
k
aa
Получаем aa =
2
при 0=k ;
()
aiaa −=π+π= sincos
2
при 1
=
k . Заметим, что во множестве действительных чисел рас-
сматривалось лишь одно положительное значение (арифметическое значение) корня, а именно,
aa =
2
.
П р и м е р 2. .0,
2
>±=− aaia Действительно,
(
)
aiaia −==
22
2
и
(
)
aiaia −==−
22
2
. Значит (по определению квад-
ратного корня) оба значения
ia±
служат результатом извлечения корня. В силу п. 1
0
мы должны получить ровно два различ-
ных результата. Следовательно, других значений
2
a− нет.
П р и м е р 3. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости значения
3
388 iw −= .
Р е ш е н и е. Для
iz 388 −= имеем
(
)
;16388
2
2
=+=z ,3
8
38
tg −=−=ϕ поэтому
3
arg
π
−==ϕ z . По формуле
(1.5.1) имеем
.2,1,0,
3
2
3
sin
3
2
3
cos16
3
=
π+
π
−
+
π+
π
−
= k
k
i
k
w
k
Следовательно (см. рис. 1.5.2),
;
9
sin
9
cos22
3
0
π
−+
π
−= iw
;
9
5
sin
9
5
cos22
3
1
π
+
π
= iw
.
9
11
sin
9
11
cos22
3
2
π
+
π
= iw
Поскольку мы условились считать (для любого w)
π
≤
<
π
−
warg , то в случае
2
w исключим под знаком тригонометрических
функций период
π2 . Тогда
.
9
7
sin
9
7
cos22
3
2
π
−+
π
−= iw

Страницы