ВУЗ:
Составители:
Рис. 1.5.2
4
0
. Рассмотрим алгебраическое уравнение
0
22
=+ dw , где
.0, >
∈
dd
R
Оно равносильно равенству
2
dw −=
или, в свою очередь,
,
2,1
idw ±=
если воспользоваться результатом решения примера 2
в п. 3
0
.
5
0
. Теперь мы можем получить формулу для решений квадратного уравнения
0
2
=++ cbxax (1.5.2)
с произвольными коэффициентами
(
)
0≠a . Выделяя полный квадрат, имеем
0
4
4
2
2
2
2
=
−
+
+
a
bac
a
b
x .
Рассмотрим только случай 04
2
>−bac , или, что то же самое, 04
2
<−= acbD , так как при 0≥D формула корней
a
Db
x
2
2,1
±−
=
(1.5.3)
нам известна. При
2
2
4a
D−
=α
в силу результата п. 4
0
получаем
a
iD
a
b
x
22
2,1
−
±=+
, или
a
iDb
x
2
2,1
−±−
=
. (1.5.4)
Теперь мы можем решать (по формуле (1.5.4)) квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, или, что то же са-
мое, пользоваться формулой (1.5.3) при любых значениях D.
Заметим, что запись
D
(или
D−
в (1.5.4)) понимается как арифметическое значение корня, так как двузначность
операции извлечения корня уже учтена знаком ±.
6
0
. П р и м е р 1. Решить уравнение
0910
24
=++ xx
.
Р е ш е н и е. Имеем квадратное уравнение относительно величины х
2
:
(
)
0910
2
2
2
=++ xx .
Согласно (1.5.3)
(
)
(
)
1,9
2
2
1
2
−=−= xx .
В свою очередь, каждое из этих уравнений имеет по два корня:
ixix
±
=
±
=
4,32,1
,3
.
П р и м е р 2. Решить уравнение
064
3
=+x .
Р е ш е н и е. Записав условие в виде
04
33
=+x , получим по формуле суммы кубов
(
)
(
)
01644
2
=+++ xxx .
Имеем 4
1
−=x , и остается найти решения квадратного уравнения 0164
2
=++ xx , для которого дискриминант 048
<
−
=
D .
По формуле (1.5.4) получаем
2
484
4,3
i
x
±−
=
или ix 322
4,3
±−= .
7
0
. Итак, любое квадратное уравнение, согласно (1.5.3), имеет ровно два корня (при 0=D корни совпадают; в этом
случае говорят, что корень
1
x имеет кратность, равную двум). В силу примеров п. 6
0
можно предположить, что каждое ку-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
