ВУЗ:
Составители:
бическое уравнение имеет ровно три корня, уравнение четвертой степени – ровно четыре корня и т.д. Кроме того, среди кор-
ней уравнения с действительными коэффициентами комплексные числа присутствуют сопряженными парами: вместе с чис-
лом вида
ibaz +=
1
корнем служит и ibaz −=
2
.
Такая гипотеза оказывается верной. А именно, в курсе алгебры доказывается что:
а) каждое алгебраическое уравнение
0,0...
01
1
1
≠=++++
−
−
n
n
n
n
n
aaxaxaxa
имеет в C ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность;
б) если коэффициенты уравнения
()
nka
k
...,,1,0= – действительные числа, то комплексные числа присутствуют во
множестве корней сопряженными парами.
Эти тезисы становятся более ясными после рассмотрения следующего примера.
П р и м е р. Решить уравнение
044
246
=++ xxx
.
Р е ш е н и е. Мы должны получить ровно шесть корней. Перепишем уравнение в виде
(
)
044
242
=++ xxx или
(
)
02
2
22
=+xx .
Уравнение 0
2
=x имеет два корня: 0
21
== xx . Аналогично, уравнение 0
2
=z , где 2
2
+= xz имеет корни ;0
21
=
=
zz в
случае
0
1
=z или
02
2
=+x , имеет ix 2
4,3
±= ; но точно такие же корни ix 2
6,5
±= получаем в случае 0
2
=
z . Таким образом, каждое из чи-
сел
ii 2,2,0 − оказалось корнем кратности два.
1.6. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1
1
0
. Даны числа .15,4,
3
1
321
−=−=
−
= iziz
i
z
Выполнить действия:
а)
3
31
42 izz +− ; б)
21
zz ; в)
iz
z
−
3
2
; г)
2
3
1
2
2
z
z
z +
;
д)
1
2
2
4
2
4zzz −− ; е)
2
3
3
2
6
zi
z
z
+
+
.
Результаты изобразить на комплексной плоскости.
2
0
. Изобразить множества точек z, для которых:
а)
33 ≤+ iz
; б)
11 >−+ iz
; в)
0
2
Re <
i
z
;
г) 2Im
2
<z ; д) 232 −≤ iz .
3
0
. Доказать равенства
а)
i
i
i
i
917
413
3
2
−
+
=
−
+
; б)
222
4 zzzzz =−++
.
4
0
. Найти действительные числа x и y из уравнений:
а)
()
125
=
+
−+ yxiyx ; б)
(
)
iyixyx 3122572
=
+
−
−
+
.
5
0
. Записать в тригонометрической форме числа
()
2
31
,1,2,9
4321
i
zizziz
−
=+−=−=−=
и выполнить затем указанные действия:
а)
4
2
z ; б)
21
zz ; в)
1
32
z
zz
; г)
3
2
4
z
z
.
6
0
. Найти все значения:
а)
;
25
3
i−
б)
3
8−
; в)
4
1; г)
4
3
i .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
