Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2
РЯДЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
2.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1
0
. Окрестностью
0
U точки iyxz
000
+= называется множество всех точек некоторого круга на комплексной плоско-
сти с центром
0
z . Если −>ε 0 радиус этого круга, то употребляем также термин "ε – окрестность" и обозначение
(
)
ε
;
0
zU .
Иными словами,
(
)
{
}
.:;
000
ε<−=ε= zzzzUU
Множество G точек комплексной плоскости называется открытым, если каждая его точка является внутренней, т.е.
содержится в G вместе с некоторой окрестностью.
Например, кольцо, т.е. множество вида
(
)
{
}
,:,; RazzRaU <−<ι=ι (2.1.1)
где a – фиксировано, 0, >ι R , является, очевидно открытым множеством.
Для сравнения заметим, что если в (2.1.1) неравенство записать в виде Raz <−≤ι , то свойство "открытости" нару-
шается, так как точки окружности
ι=− az содержатся во множестве лишь с "частью" окрестности (см. рис. 2.1.1).
Рис. 2.1.1
Точки, обладающие подобными свойствами, называются граничными. Более точно, точка
0
z , не принадлежащая G, та-
кая, что любая ее окрестность содержит бесконечное множество точек из G, называется граничной для открытого множества
G.
2
0
. Множество G называется связным, если две его любые точки можно соединить некоторой ломаной, целиком лежа-
щей в G. Открытое связное множество G называется областью.
Множество, состоящее из области G и ее границы, называется замкнутой областью.
Как правило, мы будем рассматривать ограниченные области (замкнутые или нет), т.е. области, содержащиеся в неко-
тором круге
()
RaU ; .
3
0
. О п р е д е л е н и е. Пусть G – некоторое множество комплексных чисел. Говорят, что на множестве G (области оп-
ределения G) задана функция вида
()
zfw = , если каждому Gz
∈
поставлено в соответствие одно или несколько комплекс-
ных чисел w. В последнем случае мы говорим, что функция f многозначна.
Если, в частности, все значения w – действительные числа, то говорим о действительнозначной функции комплексного
переменного. Если G – множество на "действительной оси" (оси абсцисс), т.е.
R
∈
=
xz
, то
()
xfw = – комплекснозначная
функция действительного переменного.
Так, функция вида
0,Arg ≠= zzw
(т.е.
{
}
)0\C∈z является многозначной (действительнозначной) функцией, так как
+== zww
n
arg ,,2 Z∈π+ nn и при каждом n мы получаем новое значение
n
w , отличное от любого nmw
m
≠, .
Другая знакомая нам функция – это
(
)
....,2,1, =∈= nzzw
n
C Так как результат умножения определяется однозначным
образом (в данном случае – умножения z на себя n раз), то указанная функция однозначна.
Многозначной (именно, n-значной) является и функция вида
{}
.0\;1...,,1,0
,arg,
2
sin
2
cos
C∈−=
=ϕ
π+ϕ
+
π+ϕ
==
znk
z
n
k
i
n
k
zzw
n
n
В дальнейшем будем рассматривать, в основном, функции однозначные, если не оговорено противное.
Y
0
X
R
a
ι

Страницы