Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4
0
. Поскольку
() ( )
yixfzfw
+
== определяется парами значений
(
)
yx, , то можно говорить об f как функции двух дей-
ствительных переменных, заданной на некотором множестве G. В то же время
ivuw
+
=
, тогда
(
)
(
)
yxuiyxfu ,Re
=
+
= ,
()()
yxviyxfv ,Im =+= – две действительнозначные функции действительных переменных x и y. Таким образом,
(
)
(
)()
,,, yxviyxuzfw +
=
=
(2.1.2)
т.е. задание
()
zf есть задание пары функций
(
)
,, yxuu =
(
)
yxvv ,
=
, и этим облегчаются многие формулировки и доказа-
тельства в теории функций комплексного переменного.
Например,
2
zw = может быть представлено в виде (2.1.2) следующим образом:
(
)
ixyyxiyxz 2
22
2
2
+−=+= .
5
0
. Комплекснозначная функция вида
()
Nnnfw
∈
= , называется последовательностью комплексных чисел. Множест-
во ее значений имеет вид
{}
...,...,,,
21 n
www . Согласно (2.1.2)
(
)
...,,2,1,
=
+
=
=
= nyixwnfw
nnn
т.е. одновременно с
()
nf задаются две последовательности действительных чисел
{
}
n
x и
{
}
n
y .
6
0
. Непрерывное отображение γ некоторого отрезка
[
]
β
α
, действительной оси во множество комплексных чисел на-
зывается путем (кривой)
γ . Иначе говоря, путь – это комплекснозначная функция
(
)
tz
γ
=
действительного переменного,
причем
() ()
ttx γ= Re и
()
(
)
tty γ= Im – непрерывные на
[
]
β
α
, , действительнозначные функции. Точки
(
)
α
γ
=a и
(
)
β
γ
=
b
называются, соответственно, началом и концом пути; если
(
)
(
)
β
γ
=
α
γ
, то путь называется замкнутым.
Путь
γ называется гладким, если в представлении
(
)
(
)
(
)
tiytxt
+
=
γ
функции
(
)
tx и
()
ty обладают на
[
]
β
α
, непре-
рывными производными, причем
(
)
0≠
γ
t при всех
[
]
;;
β
α
∈
t здесь
(
)
(
)
(
)
tyitxt
+
=
γ
.
Путь
γ называется кусочно-гладким, если
)(tγ
непрерывна на
[
]
β
α
,
(в указанном выше смысле) и
[]
β
α
,
можно раз-
бить на конечное число отрезков, на каждом из которых
)(tγ
определяет гладкий путь.
7
0
. Область D на плоскости называется односвязной, если ее граница есть один (непрерывный) путь без самопересече-
ний (возможно, замкнутый). Область, не являющаяся односвязной, называется многосвязной. Область называется n-связной,
если ее граница состоит из n (n > 1) непересекающихся (непрерывных) путей; некоторые из них могут вырождаться в точку.
2.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
1
0
. Определение предела функции
()
zf в точке
0
z (внутренней во множестве G, где определена
(
)
)zfw = вводится
совершенно аналогично соответствующему понятию для функции действительного переменного. Именно, число
000
viuw += есть предел
()
zfw = в точке
0
z , если для любого 0>
ε
существует 0>
δ
, такое что
ε<−
0
ww как только δ<−<
0
0 zz .
Иными словами, для любой окрестности
()
ε
;
0
wU найдется некоторая окрестность
(
)
δ;
0
zU , такая что
()
ε
∈ ;
0
wUw как только
(
)
.,;
00
zzzUz
≠
δ
∈
Употребляется привычное обозначение:
()
.lim
0
0
zfw
zz→
=
(2.2.1)
2
0
. Соотношение (2.2.1) эквивалентно, очевидно, следующему:
()
0lim
0
0
0
=−
→−
wzf
zz
. (2.2.2)
Поскольку для любых действительных переменных u, v значения
22
vu +
стремятся к нулю тогда и только тогда, ко-
гда одновременно
0,0 →→ vu , то согласно определению модуля и соотношению (2.1.2) предельный переход вида (2.2.2)
равносилен тому, что одновременно
(
)
(
)
.,lim;,lim
00
0
0
0
0
vyxvuyxu
yy
xx
yy
xx
=
=
→
→
→
→
Другими словами, предельный переход совершается по отдельности в действительной и мнимой части функции
()
zfw = . Отсюда вытекает, что простейшие свойства пределов (вынесение постоянного множителя за знак предела, предель-
ный переход в сумме, произведении и т.п.) переносятся и на случай функций комплексного переменного.
3
0
. По аналогии с (2.2.2) говорят, что
(
)
zfw
z ∞→
=
lim
0
,
(понятие "предела на бесконечности"), если

Страницы