Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
0lim
0
=−
∞→
wzf
z
.
В частности, для последовательности комплексных чисел
{
}
n
w число
0
w называется ее пределом, если
0lim
0
=−
∞→
ww
n
n
(2.2.3)
или, что то же самое, одновременно
n
n
n
n
yvxu
∞→∞→
=
=
lim;lim
00
.
4
0
. Говорят, что последовательность
n
w имеет бесконечный предел, и записывают
∞
=
∞→
n
n
wlim
,
если
+∞=
∞→
n
n
wlim .
Изобразить соответствующее "значение" бесконечного предела невозможно, однако условно говоря, дополняют ком-
плексную плоскость "бесконечно удаленной точкой", а ее "окрестностью" называют внешность круга
Rw >
достаточно
большого радиуса
0>R . Комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной.
Аналогично, говорят, что
(
)
∞
=
→
zf
zz
0
lim ,
если
(
)
+∞=
→−
zf
zz 0
0
lim .
Запись
(
)
∞
=
∞→
zf
z
lim
(бесконечный предел на бесконечности) означает, что
(
)
+∞=
+∞→
zf
z
lim .
5
0
. Функция
()
zf называется непрерывной в точке
0
z , внутренней для области определения G, если
(
)()
.lim
0
0
zfzf
zz
=
→
(2.2.4)
Другими словами, непрерывность в точке
0
z есть возможность предельного перехода под знаком функции при
0
zz → .
Согласно п. 2
0
для
()()()
yxviyxuzf ,, += непрерывность в точке
000
yixz
+
=
означает, что
()
(
)
(
)
(
)
0000
,,lim;,,lim
0
0
0
0
yxvyxvyxuyxu
yy
xx
yy
xx
=
=
→
→
→
→
,
т.е. имеем непрерывность действительной части u и мнимой части v как функций от x и y.
6
0
. Как в случае функций действительного переменного, определению (2.2.4) можно придать иную форму. Если обозна-
чить
0
zzz −=∆ ,
() ( )
0
zfzfw −=∆ , то непрерывность функции f в точке
0
z означает, что
,0lim
0
=
∆
→∆
w
z
т.е. бесконечно-малому приращению аргумента (в точке
0
z ) соответствует бесконечно малое приращение функции f.
7
0
. Функция
()
zf называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке z этой области.
Поскольку непрерывность f равносильна непрерывности ее действительной части u и мнимой v, то многие свойства
непрерывных функций действительного переменного переносятся и на изучаемый случай. Так, вместе с
()
zf и
(
)
zg непре-
рывными будут (в их общей области непрерывности G)
(
)
(
)
(
)
(
)
zgzfzgzf
⋅
+
, и
(
)
()
zg
zf
(за исключением точек, в которых
()
.)0=zg Справедливо утверждение о непрерывности сложной функции и др.
8
0
. Понятия предела и непрерывности функции в точке
0
z вводились в предположении, что −
0
z внутренняя точка
рассматриваемого множества G. Если же
−
0
z граничная точка, то в определении (2.2.2) потребуем: 0
0
→− zz , Gz
∈
(т.е.
точка z приближается к
0
z так, что при этом сохраняется условие Gz
∈
).
Функция
)(zfw = называется непрерывной в замкнутой области G , если
(
)
zf определена в G и для каждой точки
Gz ∈
0
(включая граничные точки) выполнено равенство (2.2.4); подразумевается, что точка z может стремиться к
0
z (см.
(2.2.4)) любым образом, но не покидая замкнутой области
G .

Страницы