Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
∞
=
1
,
n
n
w (2.3.7)
то сходится и ряд (2.3.1). Обратное утверждение неверно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку
,
22
nnnn
wvuu =+≤
то сходится и ряд
∑
∞
=
1n
n
u (по теореме сравнения рядов с положительными членами). Аналогично, сходится и ряд
∑
∞
=
1n
n
v .
Следовательно, оба ряда (2.3.4) сходятся абсолютно. Отсюда и вытекает сходимость ряда (2.3.1); см. п. 2
0
настоящего пара-
графа.
То, что обратное утверждение неверно, демонстрируется на известном читателю примере ряда с общим членом
(
)
(
)
,0
11
⋅+
−
=
−
= i
nn
w
nn
n
который сходится, но ряд из модулей (гармонический) расходится.
Как и ранее, сходимость ряда, вытекающую из сходимости ряда модулей, называется абсолютной. Если же сходится
(2.3.1), но (2.3.7) расходится, то сходимость (2.3.1) называется условной.
5
0
. Достаточными признаками сходимости ряда из модулей (знакоположительного ряда) могут служить, например, при-
знаки:
а) Даламбера: пусть существует предел вида
n
n
n
w
w
D
1
lim
+
∞→
= .
Тогда при
1<D
ряд (2.3.7) сходится, а при
−> 1D
расходится.
б) Коши: пусть существует предел вида
n
n
n
wK
∞→
= lim .
Тогда при
1<
K
ряд (2.3.7) сходится, а при
−> 1
K
расходится.
Напомним читателю, что в доказательстве утверждений а) и б) при
1>D или 1>
K
расходимость (2.3.7) вытекает из
соотношения (2.3.6).
2.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1
0
. Пусть в области G задана бесконечная последовательность однозначных функций
()
{
}
....,2,1, =nzu
n
. Выражение
вида
()
∑
∞
=
1n
n
zu (2.4.1)
называется функциональным рядом. При каждом Gzz
∈
=
0
имеем числовой ряд из комплексных чисел
()
0
zu
n
. Если получае-
мый числовой ряд сходится, то
0
z называется его точкой сходимости, а если расходится – то точкой расходимости. На мно-
жестве
GG ⊂
0
всех точек сходимости ряда (2.4.1) задана тогда функция
(
)
zSS
=
, называемая суммой ряда (2.4.1), где
()
0
zS есть обозначение суммы ряда (2.4.1) в точке
0
z .
2
0
. Уже из теории функциональных рядов действительного переменного нам известно, что привычные свойства конеч-
ных сумм функций могут не сохраняться при переходе к рядам. Как и в упомянутой теории, положение может быть "исправ-
лено" требованием равномерной сходимости ряда.
Пусть
()
zS есть сумма ряда (2.4.1) на замкнутой ограниченной области G и при каждом n существует наибольшее зна-
чение модуля уклонения
()
zS
n
от
()
zS
(
)
(
)
...,2,1,max =−=ρ
∈
nzSzS
n
Gz
n
.
Если
0lim =ρ
∞→
n
n
, то ряд (2.4.1) называется равномерно сходящимся на G к сумме
(
)
zS .
Сохраняется достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости: если существует числовая последователь-
ность
{}
n
α , такая что для всех ...,2,1, =
∈
nGz имеют место оценки
(
)
nn
zu α≤ и ряд
∑
∞
=
α
1n
n
– сходящийся, то ряд (2.4.1)
равномерно сходится на G; в этом случае он называется мажорируемым на G.
Из свойств равномерно сходящихся на G рядов отметим, что сумма
(
)
zS непрерывна, если непрерывны все
()
...,2,1, =nzu
n
.

Страницы