Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.4.1
Согласно признаку Вейерштрасса, получаем равномерную сходимость при ρ≤z . В частности (так как непрерывны
все степенные функции
()
)
n
n
zzu = , непрерывной в круге сходимости будут сумма ряда (2.4.2).
5
0
. Радиус сходимости R можно найти по одной из формул:
D
R
1
=
или
K
R
1
= , (2.4.5)
если существует соответствующее "число Даламбера"
n
n
n
a
a
D
1
lim
+
∞→
=
или "число Коши"
n
n
n
aK
∞→
= lim .
Формулы (2.4.5) остаются справедливыми, если 0
=
D или Gz
∈
– тогда
∞
=
R , т.е. областью сходимости ряда являет-
ся вся комплексная плоскость. Если же
()
∞
+
=
∞+= KD , то 0
=
R , т.е. "областью" сходимости является единственная точка
0
0
=z . Примеры такого рода см. ниже.
Докажем, например, вторую из формул (2.4.5). Согласно признаку Коши, ряд (2.4.3) сходится, если
,1lim <⋅
∞→
n
n
n
n
za т.е. 1<⋅ Kz , (2.4.6)
откуда получаем при
K
z
1
< сходимость ряда (2.4.3), а значит и абсолютную сходимость ряда (2.4.2). В то же время при
K
z
1
> согласно признаку Коши расходится не только ряд из модулей (2.4.3), но и сам ряд (2.4.2); об этом упоминалось в п. 5
0
параграфа 2.3. Итак, именно число
K
R
1
= оказалось радиусом сходимости согласно определению R в п. 4
0
. Отметим также, что
при
0=K условие (2.4.6) выполнено при всех z (т.е.
∞
=
R
), а при
∞
=
K
условие (2.4.6) не выполнено при любом 0
≠
z ; точ-
ка же
0
0
=z , как упоминалось, служит точкой сходимости любого степенного ряда ( 0
=
R ). Утверждение п. 5
0
полностью до-
казано.
6
0
. Рассмотрим (для любого фиксированного
0
ℑ ) ряд по степеням
0
ℑ
−
z :
)
)()
......
0
2
02010
+ℑ−++ℑ−+ℑ−+
n
n
zazazaa , (2.4.7)
или, коротко
()
∑
∞
=
ℑ−
0
0
n
n
n
za .
Очевидно, что в точке
0
ℑ ряд (2.4.7) сходится и его сумма
0
aS
=
. Заменой переменных
0
ℑ−=ℑ z получаем ряд вида
(2.4.2) и, следовательно, теорема Абеля и все ее указанные выше следствия переносятся на случай (2.4.7) с соответствующим
изменением в формулировках: речь теперь следует вести о круге сходимости с центром
0
ℑ
. Так, например, круг сходимости
K
1
<ℑ
есть
<ℑ−=
ℑ
K
zz
K
U
1
:
1
,
00
и т.д.
7
0
. П р и м е р 1. Найти область сходимости ряда
Y
X
R

Страницы