Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
()
...
!12
1...
!5!3
sin
1253
+
+
−+−+−=
+
n
zzz
zz
n
n
; (2.5.2)
()
()
...
!2
1...
!4!2
1cos
242
+−+−+−=
n
zzz
z
n
n
. (2.5.3)
Каждый из указанных рядов абсолютно сходится во всей комплексной плоскости, так как "число Даламбера" всякий раз
равно нулю, и, следовательно, радиус сходимости
∞
=
R
. Убедимся в этом, например, в случае (2.5.3): здесь
()
!2
1
n
a
n
= , а
поэтому
()
()()
(
)
()( )( )
,0
2212!2
!2
lim
!12
!2
lim =
++
=
+
=
∞→∞→
nnn
n
n
n
D
nn
что и утверждалось.
Итак, при всех z определены суммы рядов (2.5.1) – (2.5.3). В частности, для
0
⋅
+
=
ixz (на действительной оси) имеем
знакомые нам трасцендентные функции действительного переменного.
2
0
. Имеет место следующая формула Эйлера
,sincos zize
zi
+=
(2.5.4)
устанавливающая неожиданную связь между показательной и тригонометрическими функциями. Для доказательства (2.5.4)
достаточно установить, что совпадают члены соответствующих рядов. Подставим iz вместо z в общий член (2.5.1); имеем:
...
!
...
!3!2!1
1
32
+++−−+=
n
zizizzi
e
nn
zi
. (2.5.5)
Если теперь все члены ряда (2.5.2) умножить на i и сложить затем соответствующие члены рядов полученного и (2.5.3),
то (см. п. 2
0
параграфа (2.3)) будем иметь ряд, сходящийся во всей комплексной плоскости:
()
()
()
()
...
!12
1
!2
1...
!3!2
1sincos
12232
+
+
−+−++−−+=+
+
m
z
i
m
zziz
ziziz
m
m
m
m
.
(2.5.6)
В силу очевидного равенства
()
()
()
m
m
m
ii 1
2
2
−== имеем общий член ряда (2.5.6) в виде
(
)
()
(
)
()
!12!2
122
+
+
+
m
zi
m
zi
mm
,
что и представляет собою сумму двух членов вида
!n
zi
nn
, когда n пробегает последовательно четные
()
mn 2= и нечетные
()
12 += mn значения. Формула Эйлера доказана, так как члены, а значит и суммы рядов (2.5.5) и (2.5.6) совпали.
3
0
. Поскольку формула (2.5.4) справедлива при всех z, то подставив в нее
(
)
z
−
вместо z, получим
zize
zi
sincos −=
−
, (2.5.7)
при этом четность косинуса
(
)()
zz coscos =
−
и нечетность синуса
(
)
(
)
zz sinsin
−
=
−
вытекают из определений (2.5.2) и
(2.5.3).
Складывая и вычитая равенства (2.5.4) и (2.5.7), мы получаем:
i
ee
z
ee
z
zizizizi
2
sin;
2
cos
−−
−
=
+
=
. (2.5.8)
4
0
. Свойство
,
2121
zzzz
eee ⋅=
+
(2.5.9)
справедливое в случае действительных чисел
1
z и
2
z , сохраняется и в общем случае. Доказательство (2.5.9) основано на
перемножении степенных рядов для
1
z
e и
2
z
e по некоторому естественному правилу, которое мы здесь не рассматриваем.
5
0
. Сохраняются также привычные формулы для тригонометрических функций:
()
;sinsincoscoscos
212121
zzzzzz m
=
±
()
;sincoscossinsin
212121
zzzzzz
±
=
±
их доказательство основано на соотношениях (2.5.8) и (2.5.9) и может быть предоставлено читателю.
Справедливы формулы приведения:
()
(
)
zzzz
zzzz
cos
2
sin;sin
2
cos
;sinsin;coscos
=
π
+−=
π
+
−=π+−=π+
(2.5.10)

Страницы