Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
.LnLnLn
;LnLnLn
21
2
1
2121
zz
z
z
zzzz
−=
+=
Доказательства вытекают из уже установленных выше свойств модуля и аргумента произведения и частного. Например
()
(
)
(
)
(
)
()
()
()()
;LnLnlnlnln
sincosLnLn
2122112121
21212121
zzizizizz
izzzz
+=Φ++Φ+=Φ+Φ+⋅=
=Φ+Φ+Φ+Φ⋅=
здесь обозначены
2211
Arg,Arg zz
=
Φ=Φ .
3
0
. В основу определения показательной функции положим известное (для действительного переменного ) свойство
(
)
0,
lnln
>== aeea
ax
x
ax
.
Положим по определению для любых комплексных 0
≠
a и z
azz
ea
Ln
= .
Эта функция также оказывается многозначной в силу многозначности логарифма.
4
0
. П р и м е р ы. Вычислить а)
()
1Ln − ; б)
(
)
232Ln −i ; в)
i
i
−
.
Р е ш е н и е. а) Так как
π+π=− sincos1 i , то
()
(
)
(
)
...,1,0,2121ln1Ln
±
=
+
π
=
π
+
π
+
=− kkiki .
б) Запишем 232 −= iz в тригонометрической форме. Так как
(
)
4232
2
2
=+=z ,
2
1
cos −=ϕ
,
2
3
sin =ϕ
, то ϕ –
угол второй четверти, именно
3
2
3
π
=
π
−π=ϕ
. Следовательно,
()
...,1,0,2
3
2
2ln22
3
2
4ln232Ln ±=
+π+=
π+
π
+=− kkikii .
в)
iii
ei
Ln−−
= по определению показательной функции. При этом
2
sin
2
cos
π
+
π
= ii
, значит
.2
2
1
2
2
1lnLn ikkii
+π=
π+
π
+=
Теперь
+π=− kii 2
2
1
Ln
, а тогда
...,1,0,
2
2
1
±==
+π
−
kei
k
i
.
5
0
. Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные по отношению к синусу, косинусу,
тангенсу, котангенсу. Именно, если
wz sin= , то число w называется арксинусом числа z; обозначение:
.sinArc zw
=
Если рассмотреть z как переменную величину, то речь уже идет о функции вида .sinArc zw = Аналогично, если
w
z
cos= , то получаем арккосинус
;cosArc zw
=
если
wz tg=
, то
;tgArc zw
=
для
wz ctg= имеем
zw ctgArc
=
(арктангенс и арккотангенс, соответственно).
6
0
. Получим формулы для вычисления значений этих функций и убедимся в их многозначности.
Так, если
wz sin= , то (см. (2.5.8))
i
ee
z
wiwi
2
−
−
=
, откуда
02 =−−
−
ziee
wiwi
.
Положим
fe
wi
=
, тогда получено квадратное уравнение
012
2
=−− izff
с корнями

Страницы