Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

и т.п. Например, в силу (2.5.10), где
2
2
π
=z
, и известных значений 1
2
sin,0
2
cos =
π
=
π
, имеем:
zzzz sin
2
sinsin
2
coscos
2
cos −=
π
−
π
=
π
+ .
Обе функции zsin и
z
cos имеют период π2 ; в силу (2.5.4) этим же периодом обладает и
zi
e .
Сохраняется основное тригонометрическое тождество
1cossin
22
=+ zz
(для доказательства достаточно взять zzzz
−
==
21
, в (2.5.10)) и все другие известные из тригонометрии формулы для си-
нуса и косинуса. Однако, при переходе к комплексному аргументу может нарушаться привычная ограниченность единицей
модулей значений
zsin и
z
cos . Например, согласно (2.5.8)
+=
+
=
−
e
e
ee
i
ii
1
2
1
2
cos
22
– действительное число, большее единицы.
6
0
. По определению полагаем
z
z
z
z
z
z
sin
cos
ctg;
cos
sin
tg ==
во всех точках z, где знаменатель соответствующей дроби не обращается в ноль.
Гиперболические синус и косинус определяются в виде
2
ch;
2
sh
zzzz
ee
z
ee
z
−−
+
=
−
=
.
Нетрудно проверить соотношения:
1shch;sinsh;cosch
22
=−−== zzizizziz .
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ.
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1
0
. Логарифмом (натуральным логарифмом) числа z называется число w, обладающее свойством ze
w
= , где 0
≠
z . Ус-
тановим существование и найдем формулу для вычисления логарифма.
Положим
viuw += , тогда согласно (2.5.9) и (2.5.4)
(
)
viveeee
uviuviu
sincos +==
+
.
Если
()
ϕ+ϕ= sincos izz , то равенство ze
w
= означает, что
()
(
)
ϕ+ϕ=+ sincossincos izvive
u
.
Модули равных комплексных чисел тоже равны:
ze
u
= , откуда zu ln=
(имеется в виду "обычный" логарифм действительного числа); что же касается аргументов, то они могут отличаться на k
π
2 :
...,1,0,2
±
=
π
+
ϕ
=
kkv .
Следовательно,
()
kizw π+ϕ+= 2ln , или, коротко, ,Argln zizw +=
где
z
arg=ϕ . Обозначая логарифм символом zLn (употребление заглавной буквы означает многозначность результата), мы
получили, что
(
)
{
}
...,1,0,2arglnLn ±∈π++= kkzizz .
Функция вида zw Ln= называется логарифмической, она определена при всех 0
≠
z и многозначна. При 0
=
k получа-
ем так называемое главное значение логарифма:
zizz arglnln += .
2
0
. Имеют место следующие обобщения известных нам свойств логарифмов на случай комплексной переменной:

Страницы