Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
∑
∞
=
+
+
0
2
1
n
n
n
n
izi
. (2.4.8)
Р е ш е н и е. Имеем ряд по степеням
()
iz −− , тогда его круг сходимости
(
)
RiU ;
−
будет найден, если найдем радиус
сходимости R. Воспользуемся формулой
D
R
1
=
, где для
1
2
+
=
n
i
a
n
n
() ()
.1
11
1
1
1
lim
11
1
lim
1
:
11
limlim
2
2
2
2
2
2
21
22
1
1
=
+
+
+
⋅=
=
++
+
⋅=
+
++
==
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
n
n
n
i
n
n
i
i
n
i
n
i
a
a
D
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
Итак, 1=R , т.е. при 1<+ iz ряд абсолютно сходится, а при 1>+iz расходится. На окружности 1=+iz проведем
отдельное исследование. Для этого рассмотрим ряд из модулей для (2.4.8). Так как
1=i
, то при
1=+ iz
получаем число-
вой ряд
∑
∞
=
+
1
2
1
1
n
n
,
который оказывается сходящимся. Действительно, например, по интегральному признаку Коши для
()
1
1
2
+
=
x
xf непре-
рывной и убывающей на
[
)
∞+,1 имеем
()
∫
∞
π
=
π
−
π
=−∞=
∞
=
+
=τ
1
2
442
1tgarctgarc
1
tgarc
1
1
dx
x
,
т.е. получили сходящимся несобственный интеграл τ, а значит и числовой ряд. Таким образом, и на окружности 1=+ iz
ряд (2.4.8) сходится абсолютно. Окончательно, получаем областью абсолютной сходимости ряда замкнутый круг вида
{
}
.1: ≤+izz
П р и м е р 2. Доказать, что ряд
∑
∞
=1
!
n
n
n
z
абсолютно сходится во всей комплексной плоскости.
Р е ш е н и е. Действительно,
()
0
1
1
lim
!
1
:
!1
1
lim =
+
=
+
=
∞→∞→
nnn
D
nn
,
и, следовательно, ∞==
D
R
1
.
П р и м е р 3. Доказать, что ряд
∑
∞
=1
n
nn
zn
обладает единственной точкой сходимости 0=z .
Р е ш е н и е. Действительно,
∞===
∞→∞→
nnK
n
n
n
n
limlim
, и, следовательно, 0
=
R .
8
0
. Более глубокие свойства степенных рядов и их обобщения будут рассмотрены ниже, но для этого нам потребуются
основы дифференциально-интегрального исчисления функций комплексного переменного. Однако уже сейчас мы готовы
ввести в рассмотрение некоторые из основных (еще не рассмотренных) элементарных функций.
2.5. ФУНКЦИИ e
z
, sin z, cos z
1
0
. За основу определений возьмем известные разложения функций действительного переменного
xxe
x
cos,sin,
в сте-
пенные ряды. Формально заменив в них x на z, положим по определению:
...
!
...
!!1
1
2
+++++=
n
z
z
zz
e
n
z
; (2.5.1)

Страницы