Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3
0
. Пусть
{
}
...,,2,1, =nz
n
– последовательность степенных функций,
{
}
...,1,0,
=
α
n
n
– последовательность комплекс-
ных чисел.
Ряд вида
......
2
210
+++++
n
n
zazazaa
(2.4.2)
называется степенным; для (2.4.2) употребляем также обозначение
∑
∞
=
0n
n
n
za .
Очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке 0
0
=
z , так как все его частичные суммы
()
00
azS
n
=
, и, следова-
тельно, предел последовательности
()
{
}
0
zS
n
существует и равен
0
a . Нахождение других точек сходимости будет опираться
на следующую теорему.
Т е о р е м а А б е л я. Если степенной ряд (2.4.2) сходится в некоторой точке
0
0
≠
z , то он абсолютно сходится в круге
(
)
{
}
00
:;0 zzzzU <= . Если же −
′
0
z точка расходимости, то ряд (2.4.2) расходится при всех z таких, что
0
zz
′
> .
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1. Ряд из модулей для (2.4.2) имеет вид
∑
∞
=
⋅
0n
n
n
za . (2.4.3)
Общий член ряда (2.4.3) можно представить следующим образом:
()
,
0
0
n
n
n
n
nn
z
z
zazazu ⋅=⋅=
(2.4.4)
где −≠ 0
0
z точка сходимости ряда (2.4.2). Поскольку в этой точке выполнен необходимый признак сходимости, т.е.
0lim
0
=
∞→
n
n
n
za ,
то для всех n существует постоянная
0>M такая, что
Mza
n
n
≤
0
.
При условии
0
zz < имеем для
0
z
z
q =
, что .10
<
≤
q Следовательно, в силу (2.4.4),
()
10,0 <≤≤≤ qqMzu
n
n
, и
ряд
......
2
+++++
n
MqMqMqM
является сходящимся (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). По теореме сравнения знакоположитель-
ных рядов тогда сходится и ряд (2.4.3). Значит, в круге
(
)
0
;0 zU ряд (2.4.2) сходится абсолютно, что и утверждалось.
2. В случае
0
zz
′
>
ряд (2.4.2) не может сходится в точке z. Действительно, имеем
(
)
zUz ;0
0
∈
′
, и, если (2.4.2) схо-
дится в точке z, то по первой части теоремы Абеля, ряд сходится и в точке
0
z
′
. Но это противоречит условию. Итак, во всех
точках z, таких, что
0
zz
′
> , ряд (2.4.2) расходится. Теорема полностью доказана.
4
0
. Из теоремы Абеля вытекает, что всякая точка сходимости
0
z степенного ряда ближе к началу координат, чем любая
точка расходимости (если такая имеется). Следовательно, должно существовать некоторое "пограничное" расстояние R, та-
кое что при
Rz < (т.е. в каждом таком круге) имеет место абсолютная сходимость, а при Rz > (вне круга) – расходи-
мость ряда (2.4.2). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, область
(
)
−RU ,0 его кругом сходимости, см.
рис. 2.4.1.
При всяком
R<ρ<0
ряд (2.4.2) будет сходится и равномерно в круге ρ≤z . Действительно, взяв точку
~
, такую, что
ρ=z
~
, имеем абсолютную сходимость в точке
~
, т.е. сходится ряд
∑
∞
=
ρ⋅
0
.
n
n
n
a
В то же время, для членов (2.4.2) имеем оценку
.
n
n
n
n
n
n
azaza ρ≤⋅≤

Страницы