Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.3. РЯДЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
1
0
. Определение предела последовательности комплексных чисел, данное в п. 3
0
параграфа 2.2, позволяет построить
теорию числовых рядов с комплексными членами
...,2,1,
=
+
=
nviuw
nnn
.
Выражение вида
......
321
+
+
+
+
+
n
wwww или
∑
∞
=1n
n
w (2.3.1)
называется числовым рядом. Естественно его отождествить с пределом вида
(
)
n
n
wwwS ++
+
=
∞→
...lim
21
, (2.3.2)
если последний существует. Более точно, если существует число S, определяемое как предел (2.3.2), то ряд (2.3.1) называется
сходящимся, а S – его сумма. В противном случае ряд (2.3.1) называется расходящимся.
2
0
. Частичная сумма (сумма первых n членов) представима в виде
()
nnnn
vvviuuuwwwS
+
+
+++
+
+
=
+
+
+
=
.........
212121
, (2.3.3)
и теперь вопросы сходимости ряда (2.3.1) сводятся к соответствующим исследованиям рядов с действительными членами
.;
11
∑∑
∞
=
∞
=
n
n
n
n
vu (2.3.4)
Так,
а) одновременная сходимость (2.3.4) эквивалентна сходимости (2.3.1); при этом
SiSS
~
~
+= , где S
~
и S
~
~
соответствую-
щие суммы рядов (2.3.4);
б) ряд (2.3.1) сходится (расходится) одновременно с любым своим остатком
∑
∞
ν=
n
n
w , N
∈
ν
– фиксировано;
в) если ряды с комплексными членами
∑
∞
=
′
1n
n
w и
∑
∞
=
′′
1n
n
w
одновременно сходятся и обладают, соответственно, суммами S
′
и S
′
′
, то сходится и ряд
()
∑
∞
=
′′
+
′
1n
nn
ww , а его сумма есть SS
′
′
+
′
.
Кроме того, для любого постоянного С∈λ остается сходящимся и ряд
∑
∞
=
′
λ
1n
n
w ; его сумма есть S
′
λ
.
Перечисленные простейшие свойства рядов хорошо известны читателю в случае рядов с действительными членами, а
поэтому доказательства утверждений вытекают из представления (2.3.3) и результатов п. 3
0
параграфа 2.2.
3
0
. Т е о р е м а (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (2.3.1) сходится, то
0lim =
∞→
n
n
w
. (2.3.5)
Обратное утверждение неверно.
Доказательство этого утверждения проведем непосредственно (не переходя к действительным и мнимым частям). Так
как, очевидно, соотношение
n
n
SS
∞←
= lim
может быть записано и в виде
1
lim
−
∞→
=
n
n
SS
, то, вычисляя для
1−
−
=
nnn
SSw предел
разности, имеем
()
0limlimlimlim
11
=
−
=
−
=
−
=
−
∞→∞→
−
∞→∞←
SSSSSSw
n
n
n
n
nn
n
n
n
,
что и требовалось.
Ряд с общим членом
0
1
⋅+= i
n
w
n
является известным нам расходящимся гармоническим рядом, и для таких
n
w выпол-
нено соотношение (2.3.5). Значит, утверждение, обратное сформулированному в теореме, неверно.
С л е д с т в и е (достаточный признак расходимости). Если
0lim ≠
∞→
n
n
w (2.3.6)
(или если предел не существует), то ряд (2.3.1) расходится.
Действительно, в противном случае мы имели бы существование и равенство нулю предела вида (2.3.5), но тогда бы,
согласно (2.2.3) последовательность
0→
n
w , что противоречит условию (2.3.6).
4
0
. Т е о р е м а. Если сходится ряд

Страницы