Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
1 zzif −+=
(символом
2
1 z− уже предусмотрены два отличающиеся знаком значения квадратного корня). Итак,
,1
2
zzie
wi
−+= т.е. .1Ln
2
−+= zziwi
Выражая отсюда w, и принимая во внимание, что
i
i
−=
1
, получаем
−+−=
2
1LnsinArc zziiz .
Если z – действительное число, то ziz +−=ς
2
1 имеет модуль
(
)
11
22
=+− zz и тогда
(
)
ς
=
ς
+
−
=
ArgArg1lnsinArc iiz ,
т.е. значения zsinArc также – действительные числа.
Рассуждения, аналогичные вышеприведенным, позволяют утверждать, что:
−+−= 1LncosArc
2
zziz ;
zi
zii
z
−
+
−=
1
1
Ln
2
tgArc
;
iz
izi
z
+
−
= Ln
2
ctgArc
.
7
0
. П р и м е р. Вычислить: а) 2sinArc ; б) .3tgArc
Р е ш е н и е:
а)
(
)
(
)
(
)
iiiiiii 32Ln32Ln32Ln2sinArc ±−=±−=−+−= ;
здесь
3±
– значения уже арифметического корня из действительного числа. Поскольку
(
)
i32 ± имеют аргументом
,2
2
kπ+
π
=Φ то имеем две серии ответов:
()
+π++− ki 2
2
1
32ln
и
(
)
Z∈
+π+−− kki ,2
2
1
32ln .
б)
(
)
(
)
=
+
++
−=
−
+−
=
2
2
31
3131
Ln
2
31
31
Ln
2
3tgArc
iii
i
ii
.
2
3
2
1
Ln
2
+−−= i
i
Поскольку
iz
2
3
2
1
+−=
имеет ,1=z kz π+
π
= 2
3
2
Arg , то
.,
3
1
3
1
21ln
2
3tgArc Z∈
+π=
+π+−= kkik
i
Одно из возможных значений арктангенса числа 3 , именно, значение
3
π
, нам было известно ранее.
2.7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ
1
0
. Выше было определено действие возведение комплексных чисел в натуральную степень. Следовательно, для всех
C∈z определена степенная функция N∈= nzw
n
, .
Линейной функцией комплексного переменного z называется функция вида
,bzaw += где
−
∈
Cba, фиксированы.
Обе эти функции являются частными случаями многочлена n-й степени
(
)
01
1
1
... azazazazP
n
n
n
nn
++++=
−
−
, где ...;,2,1,0
=
≠
na
n

Страницы