Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

в) Дробно-линейная функция. Начнем с рассмотрения функции
z
w
1
=
. При каждом 0≠z ,
ϕ
ρ=
i
ez
, имеем
ϕ
ρ
=
i
e
w
1
, т.е.
ψ
ρ
=
i
ew
1
, где ϕ−=ψ . Таким образом, имеем последовательно преобразование луча Oz в симметричный относительно по-
лярной оси луч
zO
′
(
)
ϕ−=
′
=
′
zz arg,1
и перемещение точки
z
′
вдоль этого луча на расстояние
ρ
1
от точки O.
Покажем, что каждая окружность
,0, >= rrz преобразуется функцией
z
w
1
= в окружность радиуса
r
1
с тем же цен-
тром. Действительно, для каждой точки z на этой окружности имеем
ϕ
=
i
erz
, где ϕ пробегает значения от
π
−
до π; теперь
ψ
=
i
e
r
w
1
, где ϕ−=ψ принимает все значения в интервале
[
)
π
π
−
, . Итак, получена окружность с центром в начале коорди-
нат радиуса
r
1
, что и утверждалось. Заметим, что в геометрии описанное преобразование называется инверcией.
Отметим (без доказательства), что любая другая окружность, не проходящая через начало координат, функцией
z
w
1
= ,
преобразуется также в некоторую окружность, а проходящая через начало координат – в некоторую прямую.
Как оказывается, прямые, не проходящие через начало координат, также преобразуются в некоторые окружности, а
проходящие через начало координат – в некоторые прямые.
Рассмотрим теперь общий случай
0, ≠
+
+
= c
dcz
baz
w
. (2.7.1)
Преобразуем дробь к виду
()
()
.
1
dczc
adbc
c
a
dczc
adbcdcza
+
⋅
−
+=
+
−++
Следовательно, к отображению (2.7.1) можно прийти путем последовательного выполнения следующих изученных
преобразований:
dczt +=
(линейная функция),
t
1
=Τ
(инверсия),
T
c
adbc
c
a
w
−
+=
(линейная функция).
г) Показательная функция
z
ew = . Если ,iyxz
+
= то
yix
eew = или
(
)
yiyew
x
sincos += . Последнее представление
можно понимать как тригонометрическую форму записи w. Таким образом, каждая точка z преобразуется в точку (число) w с
модулем
x
e=ρ
, и аргументом (одним из значений аргумента), равным y.
Геометрические образы стандартных линий (областей), получаемые посредством перечисленных и других отображений
(функций) изучаются в более подробных курсах.
2.8. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2
1. Найти область сходимости степенного ряда:
а)
∑
∞
=
−
1
21
!
4
n
nn
n
z
; б)
()
∑
∞
=
−
0
2
n
n
izn ; в)
(
)
∑
∞
=
−
+
++
1
1
1
1
n
n
nn
iz
;
г)
∑
∞
=
−
1
122
n
nn
zn ; д)
()
)
.
ln
11
2
4
∑
∞
=
+−
n
nn
nn
z
2. Вычислить значения:
а)
πi
e ; б)
1−i
e ; в)
2
sin
iπ
; г)
i
2
cos
2
; д)
(
)
i3сh
−
; е)
3
sh i
;
ж)
(
)
i−3tg
.
3. Найти:
а)
+
2
1
Ln
i
; б)
()
345Ln −i ; в)
()
ei −− Ln ; г)
i
i
+1
; д)
i−
3 ;
е)
1
2
−
.

Страницы