Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.1.1
Итак, в данной точке
0
z отображение f обладает постоянством угла поворота касательных и постоянством коэффициен-
та растяжения (сжатия); см. рис. 3.1.1.
Отображение с такими свойствами называется конформным.
3.2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1
0
. Из определения (3.1.1) производной и привычных свойств пределов (сохраняющихся при переходе к случаю функ-
ций комплексного переменного) вытекают и привычные правила дифференцирования:
а) если
()
,Czf = где const=C (постоянное комплексное число), то
(
)
0
=
′
zf ;
б)
()() ()
const, =
′
=
′
CzfCzCf ;
в)
() ()( ) () ()
zgzfzgzf
′
+
′
=
′
+
;
г)
() ()( ) () () () ()
zgzfzgzfzgzf
′
+
′
=
′
;
д)
()
()
() () () ()
()
zg
zgzfzgzf
zg
zf
2
′
−
′
=
′
в точках, где
(
)
0
≠
zg .
2
0
. Справедливо правило дифференцирования сложной функции:
()()() ()()()
.zfzfzf
′
ϕ
′
=
′
ϕ
Если
()
zfw = осуществляет взаимно-однозначное соответствие области G (в комплексной плоскости точек z) на G
~
(в
комплексной плоскости точек
w), то определено (однозначное) обратное соответствие
()
wz
ϕ
=
, называемое обратной функ-
цией. Справедлива формула
()
()
zf
w
′
=ϕ
′
1
.
3
0
. Сохраняется и таблица производных, приведем некоторые из формул:
1) 1=
′
z
;
2)
()
1−αα
α=
′
zz ;
3)
()
zz cossin =
′
;
4)
()
zz sincos −=
′
;
5)
()
z
z
2
cos
1
tg =
′
;
6)
()
z
z
2
sin
1
ctg −=
′
;
7)
()
zz
ee =
′
;
8)
()
aaa
zz
Ln=
′
;
9)
()
2
1
1
sinArc
z
z
−
=
′
;
v
w
w
0
∆
w
Г
Ф
0
u
x
z
0
y
z
0
∆z
γ
ϕ

Страницы