Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

10)
()
2
1
1
tgArc
z
z
+
=
′
.
Здесь производные многозначных функций понимаются как производные, вычисленные при каждом фиксированном k,
Ζ∈k .
Эти формулы могут быть выведены в точности так же, как в случае функций действительного переменного. Однако мо-
гут быть использованы и определения
zze
z
cos,sin, в виде степенных рядов, а также связи (между собою) функций ком-
плексных переменных. Например, почленное дифференцирование степенного ряда для
z
e приводит к результату:
()
()
....
!1
...
!2
1...
!
...
!2
1
...
!
...
!3!2
1
1212
32
z
nn
n
z
e
n
zz
z
n
z
n
z
z
n
zzz
ze
=+
−
++++=+++++=
=
′
++++++=
′
−−
Или:
() ( )
()
aаazeea
zazazz
LnLn
LnLn
=
′
=
′
=
′
и т.д.
3.3. УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
1
0
. Пусть
yixz +=
, и
()
zfw = определена в точке z и в некоторой ее окрестности. Запишем
()
zf в виде
(
)
(
)
(
)
yxviyxuzf ,,
+
=
.
Необходимое условие дифференцируемости f в точке z содержится в следующем утверждении.
Т е о р е м а 1. Пусть
()
zf дифференцируема в точке z. Тогда существуют частные производные функций u и v по
обеим переменным в точке
()
yx, , причем в этой точке
y
u
x
v
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
;
. (3.3.1)
Соотношения (3.3.1) называются условиями Коши-Римана-Эйлера-Даламбера (чаще говорят: условия Коши–Римана).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существует
()
zf
′
, определяемая как предел вида (3.1.1). В параграфе 3.1. отмечалось (см.
п. 1
0
), что характер стремления к нулю величины yixz
∆
+
∆
=
∆ может быть произвольным. Выберем, в частности, случаи
1) 0=∆y , т.е. xz ∆=∆ , тогда 0→
∆
z означает, что 0→
∆
x ;
2) 0=∆x , т.е. yiz ∆=∆ , тогда 0→∆z одновременно с 0→
∆
y .
В обоих случаях переход от точки
z к точке
z
z
∆
+
вызывает приращение
(
)()
.,, yxviyxuw ∆+
∆
=
∆
В первом случае
каждое из приращений
u∆ и v∆ есть приращение по переменной x, следовательно,
()
.limliml
00
0
x
v
i
x
u
x
v
i
x
u
x
viu
z
w
imzf
xx
x
xx
x
z
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆+∆
=
∆
∆
=
′
→∆→∆
→∆
(3.3.2)
При этом само существование
u
∂
∂
и
y
v
∂
∂
вытекает из существования пределов действительной и мнимой части (при
0→∆z ) функции ("разностного отношения")
z
w
∆
∆
, тогда как сама эта функция имеет предел по условию теоремы.
Аналогично, во втором случае,
,uu
y
∆=∆
vv
y
∆
=
∆
, т.е.
()
.limlimlim
2
000
y
u
i
y
v
y
u
i
i
y
v
yi
viu
z
w
zf
yy
y
yy
yz
∂
∂
−
∂
∂
=
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆+∆
=
∆
∆
=
′
→∆→∆→∆
(3.3.3)
Правые части соотношений (3.3.2) и (3.3.3) совпадают, так как выражают собою одну и ту же
()
zf
′
:
.
∂
∂
−+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
i
y
v
x
v
i
x
u
По определению равенства комплексных чисел имеем отсюда соотношения (3.3.1), что и требовалось доказать.

Страницы