Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()()
.γ+
∆
∂
+
∂
∂
=γ+
∆+∆
∆+∆
∂
∂
+∆+∆
∂
∂
=
=γ+
∆+∆
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
−∆
∂
∂
=
∆
∆
x
v
i
x
u
yix
yix
x
v
iyix
x
u
yix
y
x
u
x
x
v
iy
x
v
x
x
u
z
w
Значит при 0→∆z (а тогда 0→∆x , 0→∆y , и, следовательно, 0→
γ
)
x
v
i
x
u
z
w
∂
∂
+
∂
∂
→
∆
∆
,
т.е. существует предел вида (3.1.1); именно, он равен
x
v
i
x
u
∂
∂
+
∂
∂
. Существование
(
)
zf
′
доказано.
4
0
. Согласно теоремам 1 и 2 замечанию 1 п. 2
0
, дифференцируемость u, v в точке
(
)
yx, и выполнимость условий Коши–
Римана
(3.3.1) необходимы и достаточны для существования производной
(
)
zf
′
.
5
0
. О п р е д е л е н и е. Функция
()
zfw = , дифференцируемая в точке
0
z и некоторой ее окрестности, называется ана-
литической
(или голоморфной) в точке
0
z .
Функция, аналитическая во всех точках некоторой области
G, называется аналитической (голоморфной) в этой облас-
ти.
Точки
z комплексной плоскости, в которых однозначная
(
)
zf является аналитической, называются правильными точ-
ками этой функции, а все остальные точки (в частности, те, где
(
)
zf не определена) – особыми для
()
zf .
Согласно п. 4
0
критерием аналитичности
()
zf в данной точке z (в данной области G) является дифференцируемость u,
v и выполнимость условий Коши–Римана (3.3.1) в этой точке и некоторой ее окрестности (в области G).
П р и м е р 1. Докажем, что
2
zw = аналитична во всей комплексной плоскости. Действительно,
(
)
,2
22
2
ixyyxiyxw +−=+= т.е.
(
)
(
)
xyyxvyxyxu 2,,,
22
=−= .
Имеем:
.2;2;2;2 x
y
v
y
x
v
y
y
u
x
x
u
=
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
Условия (3.3.1) выполнены, очевидно, при всех x и y, т.е. во всей плоскости. Следовательно,
2
zw = аналитична во всей
комплексной плоскости.
2. Рассмотрим
2
zw = . Имеем:
()
,2
22
2
ixyyxiyxw −−=−= т.е. .2,
22
xyvyxu −=−=
Тогда:
.2;2;2;2 x
y
v
y
x
v
y
y
u
x
x
u
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
Проверяем условия Коши–Римана (3.3.1):
=−
−=
,22
;22
yy
xx
отсюда получаем 0
=
=
yx .
Итак, в единственной точке 0
=
z условия Коши–Римана выполнены, и, следовательно, в этой точке
2
zw = имеет про-
изводную. Однако, функция ни в одной точке не аналитична (точка дифференцируемости – единственная, и не существует ее
окрестности, где дифференцируемость сохраняется).
6
0
. Пользуясь условиями Коши–Римана, вычислим якобиан J конформного отображения, осуществляемого заданием
аналитической функции
()() ()
.,, yxiyxuzf υ+= Имеем +
′
=
′′
−
′′
=
2
)(
xxyyx
uvuvuJ .)()(
2
2
zfv
x
′
=
′
+
Итак,
()
.
2
zfJ
′
=
3.4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ПО ЕЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ИЛИ МНИМОЙ ЧАСТИ
1
0
. В различных вопросах математики и ее приложениях рассматривается так называемое уравнение Лапласа
0
2
2
2
2
=
∂
σ∂
+
∂
σ∂
yx
.

Страницы