Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
0
. З а м е ч а н и е 1. Как известно, дифференцируемость в точке
(
)
yx, функций u и v (как функций от двух перемен-
ных), есть условие более жесткое, чем существование частных производных по обеим переменным. Она (дифференцируе-
мость) означает, что полные приращения
u∆ и v∆ могут быть представлены в виде
;
21
yxy
y
u
x
x
u
u ∆α+∆α+∆
∆
∂
+∆
∂
∂
=∆
(3.3.4)
,
21
yxy
y
v
x
x
v
v ∆β+∆β+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
(3.3.5)
где −ββαα
2121
,,, является бесконечно малыми (стремятся к нулю) при 0→
∆
x и 0→
∆
y .
В результате более детального рассмотрения можно было бы доказать, что для дифференцируемой в точке
z функции f
не только существуют указанные в (3.3.1) частные производные, но функции
u и v дифференцируемы в точке
(
)
yx, .
З а м е ч а н и е 2. Как установлено выше,
(
)
zf
′
можно вычислить по любой из указанных в (3.3.2), (3.3.3) формул, на-
пример,
()
.
x
v
i
x
u
zf
∂
∂
+
∂
∂
=
′
Так, для
(
)
yiyeee
xyixz
sincos +==
+
имеем
()
yeyxu
x
cos, = ,
()
yeyxv
x
sin, = . Значит,
(
)( )
(
)
zxx
x
x
x
xz
eyeiyeyeiyee =+=
′
+
′
=
′
sincossincos ,
и мы получили еще одно доказательство формулы 7 таблицы производных.
3
0
. Достаточное условие дифференцируемости
(
)
zf в точке z содержится в следующем утверждении.
Т е о р е м а 2. Если
()
yxu , и
()
yxv , дифференцируемы в точке
(
)
yx, и выполнены условия Коши–Римана (3.3.1), то
()
zf
′
существует в точке yixz += .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разностное отношение
yix
viu
z
w
∆+∆
∆+∆
=
∆
∆
.
Следует установить, что существует его предел при 0→
∆
z . Согласно условию теоремы u∆ и v∆ можно представить в
виде (3.3.4) и (3.3.5), соответственно. Поэтому
()( )
.
2211
yix
yixiy
y
v
x
x
v
iy
y
u
x
x
u
z
w
∆+∆
∆β+α+∆β+α+
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
∆
∆
(3.3.6)
Заметим, что
()
(
)
.
2211
2211
yix
y
i
yix
x
i
yix
yixi
∆+∆
∆
⋅β+α+
∆+∆
∆
⋅α+α≤
∆+∆
∆β+α+∆β+α
(3.3.7)
В правой части (3.3.7)
() () () ()
2222
; yxyyxx ∆+∆≤∆∆+∆≤∆
и
() ()
.
22
yxyix ∆+∆=∆+∆
Значит правая часть не превосходит бесконечно малой величины
2211
β+α+β+α ii
,
а тогда выражение под знаком модуля в левой части (3.3.7) есть "комплексная" бесконечно малая, которую обозначим через
γ: 0→
γ
при 0→∆x и 0→∆y .
Далее, заменим
y
v
∂
∂
на
x
u
∂
∂
и
y
u
∂
∂
на
∂
∂
−
x
v
в числителе дроби (3.3.6):

Страницы