Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Всякая функция
()
yx,σ=σ , удовлетворяющая этому уравнению, называется гармонической.
Пусть
()() ()
yxviyxuzf ,, += – функция, аналитическая в некоторой области G. Докажем, что в этом случае
(
)
yxuu ,
=
и
()
yxvv ,= – гармонические функции. Следует отметить, что из дальнейшего рассмотрения будет следовать существование
и непрерывность в
G всех частных производных второго порядка функций u и v (будет доказано, что аналитическую функ-
цию
f в область G можно дифференцировать сколь угодно много раз). Поэтому тождества (условия Коши-Римана, выпол-
ненные в области
G)
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
;
(3.4.1)
можно продифференцировать – первое по x, а второе по y, при этом смешанные частные производные второго порядка ока-
зываются равными. Имеем:
xy
v
y
u
yx
v
x
u
∂∂
∂
−=
∂
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
2
2
22
2
2
; и
.
22
xy
v
yx
v
∂∂
∂
=
∂∂
∂
Следовательно,
2
2
2
2
y
u
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
, а тогда .0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
Если теперь первое из тождеств (3.4.1) продифференцировать по
y, а второе по x и сложить (почленно), то будем иметь
,0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
что и требовалось доказать.
2
0
. Пусть теперь известна действительная часть
(
)
yxuu ,
=
аналитической функции
()
zfw = . Тогда, зная частные про-
изводные
x
u
∂
∂
и
y
u
∂
∂
, мы из условий Коши–Римана (3.4.1) сможем найти и
x
v
∂
∂
,
y
v
∂
∂
. Теперь функцию
()
yxv , по ее полному
дифференциалу можно восстановить в виде криволинейного интеграла по произвольной траектории интегрирования, распо-
ложенной в области
G (этот факт был доказан в интегральном исчислении):
()
()
(
)
∫
+
∂
∂
+
∂
∂
=
yx
yx
Cdy
y
v
dx
x
v
yxv
,
,
00
,, (3.4.2)
где
()
00
, yx – любая фиксированная точка в области G; C – произвольная постоянная.
Аналогично, если известна мнимая часть
(
)
yxvv ,= аналитической функции
(
)
zf , то из условий Коши–Римана мы оп-
ределяем
x
u
∂
∂
и
y
v
∂
∂
; следовательно,
()
()
(
)
∫
+
∂
∂
+
∂
∂
=
yx
yx
Cdy
y
u
dx
x
u
yxu
,
,
00
.,
3
0
. П р и м е р. Найти аналитическую функцию
(
)
zf , действительная часть которой имеет вид
(
)
(
)
.2,
22
yxyxyxu −+−=
Р е ш е н и е. Поскольку
()() ()
yxviyxuzf ,, += , то достаточно определить
(
)
yxv , по формуле (3.4.2). Согласно усло-
виям Коши–Римана (3.4.1) найдем для этого частные производные
()
(
)
222
22
+=
′
−+−=
∂
∂
=
∂
∂
xyxyx
x
u
y
v
x
;
()
(
)
222
22
+=
′
−+−−=
∂
∂
−=
∂
yyxyx
y
u
dx
v
y
.
Так как найденные выражения определены (непрерывны как функции от x и y) во всей комплексной плоскости, то в
(3.4.2) можно выбрать, например,
0и0
00
== yx . Значит
() ( ) ( )
()
(
)
∫
++++=
yx
CdYXdXYyxv
,
0,0
2222, . (3.4.3)
Траекторию интегрирования ONM выберем, как показано на рис. 3.4.1; координаты точек:
()
(
)
(
)
.,;0,;0,00 yxMxN
Интеграл (3.4.3) запишем в виде суммы двух: по отрезку
ON (на котором 0
=
y , и, следовательно, 0=dY ) и NM (на котором
xX = постоянен, а значит 0=dX ):

Страницы