Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.5.1
Можно доказать, что при сформулированных выше условиях на функцию
(
)
zf и дугу линии L предел (3.5.2) существу-
ет и не зависит от способа разбиения
A
B∪ на части точками
k
z и от выбора "промежуточных" точек
k
η .
2
0
. Из определения п. 1
0
вытекают привычные свойства интеграла:
1)
() ()()
(
)()
∫∫∫
∪∪∪
+=+
AB ABAB
dzzfdzzfdzzfzf ;
2121
2)
() ()
∫∫
∪∪
λ=λ
AB AB
dzzfdzzf , где ;const=λ
3)
() ()
∫∫
∪∪
−=
BAAB
dzzfdzzf ,
где BA∪ – та же самая дуга, но с противоположным направлением обхода (от точки B к точке A);
4) если
C – произвольная точка на
A
B∪
, то
()
(
)
(
)
∫∫∫
∪∪∪
+=
AC CBAB
dzzfdzzfdzzf ;
5)
∫
∪
−=
AB
zZdz
0
,
где
0
z и Z – комплексные числа, изображаемые, соответственно, точками A и B;
6)
()
,lMdzzf
AB
≤
∫
∪
где M – любая постоянная, определяемая условием
(
)
,Mzf ≤ ;ABz ∪
∈
l – длина L.
Докажем, например, свойство 5). Имеем для
(
)
1
=
zf интегральную сумму (3.5.1) в виде
,...
00
1
1211201
zZzzzzzzzzzzz
n
n
k
nnnnk
−=−=−+−++−+−=∆
∑
=
−−−
а тогда и предел (3.5.2) от постоянной
0
zZ − равен
0
zZ
−
. Свойство 5) установлено.
3
0
. Вычисление интеграла (3.5.2) сводится к вычислению определенного интеграла комплексной функции действительной
переменной
t:
() ()()()
.
∫∫
∪
β
α
′
=
AB
dttztzfdzzf
(3.5.3)
Действительно, произвольное слагаемое в интегральной сумме (3.5.1) имеет вид
()
(
)
(
)
,
kkkkk
yixfzf
∆
+
∆
η
=
∆
η
при этом приращения
k
x∆ и
k
y∆ функций
()
tx и
(
)
ty (при изменении z от
1−k
z до
k
z ) могут быть приближенно представ-
лены в виде дифференциалов:
(
)
(
)
;;
kkkkkk
ttyyttxx
∆
≈
∆
∆
≈
∆
здесь −
k
t аргумент функции
()
tz такой что
(
)
kk
tzz = и
1−
−
=
∆
kkk
ttt .
Значение
()
k
f η , ввиду непрерывности f, можно приближенно заменить на
(
)()
(
)
kk
tzfzf
=
, если
k
z∆ достаточно ма-
ло; в свою очередь, это достигается (по причине непрерывности
(
)
tz ) выбором достаточно малых
k
t∆ . Итак,
(
)()()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
kkkkkkkk
ttztzfttyitxtzfzf
∆
=
∆
+
≈∆
η
κ
Следовательно, при ,0max →∆
k
t поведение интегральных сумм (3.5.1) и
y
x
G
0
B
A
z
1
z
2
z
n
z
n–1
z
k
z
k–1
η
к
z
0

Страницы