ВУЗ:
Составители:
()()()
∑
=
∆
′
n
k
kkk
ttztzf
1
(3.5.4)
совпадает; сумма же (3.5.4) является интегральной для определенного интеграла в правой части (3.5.3). Такова схема доказа-
тельства (3.5.3).
4
0
. Формальная подстановка
()
(
)
(
)
yxviyxuzf ,,
+
= и dyidxdz
+
=
и вычисление произведения
() ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ,,,,
+
+
−
=
приводят нас также к формуле
(
)
(
)
(
)()
(
)
∫∫∫
∪∪∪
++−=
ABABAB
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ,,,,, (3.5.5)
доказательство которой (подобно п. 3
0
) производится сравнением интегральных сумм для криволинейных интегралов в пра-
вой части (3.5.5) с суммой (3.5.1).
5
0
. П р и м е р 1. Вычислить интегралы
а)
∫
=
L
dzzzJ Im
1
вдоль отрезка прямой от точки
iz +
=
1
1
до 2
2
=z (рис. 3.5.2);
б)
∫
=
L
dzzJ
2
вдоль дуги окружности
1=z
, обходимой против часовой стрелки от точки 1
1
=
z до iz
=
2
(рис. 3.5.3).
Р е ш е н и е. а) Для точки
1
z имеем 1,1
11
=
= yx ; для
2
z имеем 0,2
22
=
=
yx . Запишем уравнение прямой, соеди-
няющей эти точки:
,
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
т.е. ,
1
1
1
1
−
−
=
−
yx
откуда xy
−
=
2 .
Следовательно, iyxz += можно записать в виде
()
,2 xixz −+
=
;21
≤
≤
x тогда .;2Im dxidxdzxz
−
=
−
=
Имеем:
()( )( )() () ( )
()
∫∫
=−+−−=−−−+=
2
1
2
2
2
1
1
221122 dxxixxidxixxixJ
() () ()
=
−−−+−−=
−+−−=
33
1
10
3
8
412
33
1
1
1
2
3
32
i
ix
i
xxi
()
.
3
3
3
2
1
ii
i
−
=
+
−=
Рис. 3.5.2 Рис. 3.5.3
б) Окружность
1=z
имеет центр в начале координат и радиус 1
=
r
, поэтому ее параметрические уравнения имеют
вид
=
=
,sin
;cos
ty
tx
т.е. .sincos titz
+
=
При этом
()
dttitdz cossin +−= . Подставляя
1=z
и учитывая что
2
0
π
≤≤ t на дуге
21
zz∪ , получаем
z
2
z
1
x
1
0
x
y
1
0
1 2
z
1
z
2
1
y
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
