Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
0
. Заметим, что свойство непрерывности
(
)
zf
′
вытекает из аналитичности
(
)
zf , что будет доказано в дальнейшем.
Однако, доказательство будет опираться на теорему Коши, а тогда сама она должна быть установлена иными (гораздо более
объемными) рассуждениями. Их суть состоит в следующем.
а) Если
∆
– треугольник, лежащий в достаточно малой окрестности точки
ι
, то в силу аналитичности
(
)
zf для мало-
го
0>ε имеем
()
(
)
()
∆∈ε<ι
′
−
ι−
ι−
zf
z
fzf
, ,
откуда
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,
ι
−
ι
α
+
ι
−
ι
′
+
ι
= zzzffzf
где
()
., ε<ια z При интегрировании по ∆∈
z
последнего равенства имеем
() ()( )
,const, ε⋅≤ι−ια=
∫∫
∆∆
dzzzdzzf
так как интегралы остальных слагаемых обратятся в ноль (см. рассуждения п. 1
0
). Ввиду произвольности ε интеграл по кон-
туру ∆ равен нулю.
б) Далее, устанавливается, что интеграл уже по всякому треугольнику равен нулю (иное предположение приводит к
противоречию с п. а)).
в) Результат для треугольного контура переносится на случай произвольной замкнутой ломанной, а затем и на случай
произвольной гладкой (кусочно-гладкой) L.
3
0
. Заметим также, что теорема Коши оказывается справедливой и в случае, когда
()
zf остается аналитической в об-
ласти D, а на ее границе L является лишь непрерывной.
4
0
. Теорема Коши в общем случае может быть сформулирована в терминах интегрирования по так называемым гомо-
топным путям. Суть утверждения в том, что для аналитической в области функции интеграл остается неизменным, если путь
интегрирования непрерывно деформируется внутри области так, что его концы остаются неподвижными.
Для более точной формулировки рассмотрим в области D два пути: а)
(
)
t
00
γ
=
γ
и
()
[]
βα∈γ
=
γ
,,
11
tt с общими концами
() ()
a=αγ=αγ
10
; б)
() ()
.
10
b=βγ=βγ
Пусть существует непрерывная функция двух переменных
(
)
[
]
[
]
β
α
∈
∈
γ
=
γ
,,1,0,, tsts с областью значений в D, такая
что при всех s и t
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
.,;,;,1;,0
10
bsastttt
≡
β
γ
≡
α
γ
γ
≡
γ
γ≡γ
Тогда пути
0
γ и
1
γ называются гомотопными в D. Заметим, что при изменении параметра s получаем семейство непре-
рывным образом деформирующихся путей, которые как бы связывают фиксированные пути
0
γ и
1
γ .
В применении к замкнутым путям определение гомотопности имеет следующий вид. Два замкнутых пути
0
γ
и
1
γ
на-
зываются гомотопными в D, если указанная непрерывная функция
(
)
[
]
,1,0,,
∈
γ
=
γ
sts
[
]
β
α
∈
,t обладает свойствами
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.,,;,1;,0
10
β
γ
≡
α
γ
γ
≡
γ
γ≡γ sstttt
Наконец, говорят, что замкнутый путь γ гомотопен нулю (точке) в области D, если в условиях последнего определения
()
.const,1 ≡γ t Это означает, что замкнутый путь
γ
непрерывной деформацией внутри D может быть стянут в точку. Ясно,
что в односвязной области каждый замкнутый путь гомотопен нулю и что два любые пути с общими концами гомотопны
друг другу.
Теорема Коши в общей формулировке имеет следующий вид.
Пусть функция
()
zff = аналитична в D и пути
0
γ
и
1
γ
(кусочно-гладкие) гомотопны друг другу как пути с общими
концами или как замкнутые пути. Тогда
(
)
(
)
∫∫
γγ
=
10
.dzzfdzzf
Поскольку в односвязной области каждый замкнутый путь
1
γ
гомотопен нулю, то получаем приведенное выше в п. 1
утверждение теоремы Коши о том, что интеграл аналитической в односвязной области D функции по всякому замкнутому
пути
0
γ равен нулю.
3.7. ТЕОРЕМА КОШИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
1
0
. Пусть контуры
n
LLL ...,,,
21
и L задаются также, как и в параграфе 3.6, являются замкнутыми и расположены в об-
ласти G. Предположим далее, что все
j
L
находятся внутри L, ограничивают односвязные области и на каждом из
j
L
и L
направление обхода выбрано против часовой стрелки.
Т е о р е м а. Если
()
zf аналитична в области G, то

Страницы