Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
(
)()
∫∫∫∫
+++=
21
....
LLLL
n
dzzfdzzfdzzfdzzf (3.7.1)
Рис. 3.7.1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждения проведем для случая
2
=
n , (см. рис. 3.7.1). Соединим контуры
21
,, LLL гладки-
ми кривыми
321
,, γγγ
. При этом область D, ограниченная линией L, оказалась разбитой на две односвязные области
1
D и
2
D с границами Γ
′
и Γ
′′
, обходимыми в положительном направлении (т.е. в том направлении, при котором области
1
D (при
обходе
Γ
′
) и
2
D (обход Γ
′′
) остаются слева). По теореме Коши для односвязной области
(
)
(
)
∫∫
Γ
′′
Γ
′
== 0;0 dzzfdzzf ,
следовательно,
()
(
)
,0
∫∫
Γ
′′
Γ
′
=+ dzzfdzzf т.е.
(
)
.0
∫
Γ
′′
∪Γ
′
=dzzf
Но объединение границ Γ
′
и Γ
′′
состоит из L (обходимой против часовой стрелки),
1
L и
2
L (обход – по часовой стрелке) и
32,1
, γγγ
, обходимых дважды в противоположных направлениях, что показано на рисунке. Следовательно (свойство 4 п. 2
0
параграфа 3.5),
()
(
)
(
)
(
)
++++
∫∫∫∫
γ−γ−−−
2121
dzzfdzzfdzzfdzzf
LL
(
)()()
,0
21
∫∫∫
=+++
γγ L
dzzfdzzfdzzf (3.7.2)
где знак "–" перед обозначением контура указывает на обход по часовой стрелке. Согласно свойству 3) п. 2
0
параграфа 3.5
интегралы по
1
γ− и
1
γ отличаются только знаком и поэтому взаимно уничтожаются; то же самое верно для интегралов и по
2
γ− и
2
γ . Теперь, меняя направление обхода по
1
L− и
2
L
−
получаем (3.7.2) в виде
()
(
)
(
)
,0
21
=+−−
∫∫∫
LLL
dzzfdzzfdzzf
а это и есть утверждение теоремы при 2=n . Общий случай 2≥n доказывается точно также: записываем равенство типа
(3.7.2), содержащее интегралы по всем
jjj
L
γ
γ
−− ,, и L
(
)
nj ...,,2,1
=
, откуда и вытекает (3.7.1).
2
0
. Если сохраняются предположения п. 1
0
для границ двусвязной области L (внешней) и l (внутренней), то важным
следствием теоремы является (см. рис. 3.7.2) равенство
(
)
(
)
∫∫
=
l
dzzfdzzf
L
.
Рис. 3.7.2
3.8. ПЕРВООБРАЗНАЯ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА–ЛЕЙБНИЦА
1
0
. Докажем следующее утверждение. Пусть
(
)
zf непрерывна в области G.
Интеграл по всякому замкнутому контуру L, расположенному в области G, равен нулю, тогда и только тогда, когда ин-
теграл по любой дуге (расположенной в G) зависит только от положения начальной и конечной точек дуги.
Действительно, пусть
D
2
D
1
L
1
L
2
γ
3
γ
1
L
γ
2
l
L

Страницы