Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫
∆+
∆=
zz
z
zds
.
Оценим, используя (3.8.2) и свойство 6 п. 2
0
параграфа 3.5, следующее выражение:
() () ()
=∆−
∆
=−
∆
∆Φ
∫
∆+ zz
z
zzfdssf
z
zf
z
1
() () () ()()
≤−
∆
=−
∆
=
∫∫∫
∆+∆+∆+ zz
z
zz
z
zz
z
dszfsf
z
dszfdssf
z
11
() ()
()
() ()
;maxmax
1
zfsfzzfsf
z
−≤∆⋅−⋅
∆
≤
здесь наибольшее значение модуля разности значений функции берется по всем
[
]
zzzs ∆
+
∈
, , а так как f аналитична (а зна-
чит и непрерывна), то указанное значение можно сделать меньшим любого
0>
ε
для достаточно малых
z∆
. По определе-
нию предела это означает, что
()
zf
z
z
=
∆
∆Φ
→∆ 0
lim .
Последнее соотношение равносильно (3.8.1). Ввиду произвольности Gz
∈
имеем, в частности, аналитичность
(
)
z
Φ
в
G. Теорема доказана.
4
0
. Утверждение теоремы п. 3
0
означает, что "интеграл с переменным верхним пределом"
() ()
dssfz
z
z
∫
=Φ
0
(3.8.3)
есть первообразная для
()
zf . Для другой первообразной
(
)
zF имеем
() ()( ) () ()
,0=−=
′
−Φ zfzfzFz
откуда действительная и мнимая части
()
yxU , и
(
)
yxV , разности
(
)
(
)
zFz
−
Φ
обладает свойством (см. (3.3.2))
,0=
∂
∂
+
∂
∂
x
V
i
x
U
т.е.
.0и0 =
∂
∂
=
∂
∂
x
V
x
U
Из условий Коши–Римана будет вытекать также, что
.0=
∂
∂
=
∂
∂
y
V
y
U
Следовательно полные дифференциалы
0,0
=
= dVdU , откуда постоянными оказываются
()
yxU , и
(
)
yxV , . Вместе с
ними постоянна и разность
()
(
)
zFz −Φ . Таким образом,
(
)
(
)
CzFz +
=
Φ
, (3.8.4)
где C – некоторое постоянное комплексное число.
5
0
. Имеет место формула Ньютона–Лейбница:
() () ( )
0
0
zFzFdssf
z
z
−=
∫
, (3.8.5)
где
()
zF – любая первообразная аналитической функции f.
Действительно, при
0
zz = в (3.8.4) получаем
(
)
CzF
+
=
0
0 , т.е.
(
)
0
zFC
−
=
.
Теперь, согласно (3.8.4), получаем
(
)
(
)
(
)
0
zFzFz
−
=
Φ
.
Вспоминая определение (3.8.3), приходит к формуле (3.8.5).
6
0
. Условия голоморфности функции
()
zf можно сформулировать в терминах так называемых дифференциальных
форм, т.е. выражений вида
.dzf ⋅=ω

Страницы