Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()()
()
()()
()
=
−
−
+−π
=
−+
∫∫
LL
zz
dzzf
hzz
dzzf
ihh
zfhzf
00
00
2
1
()( )()
(
)
()()
=
−−−
−−−−
π
=
∫
L
dz
zzhzz
zf
hzzzz
ih
00
00
2
1
(
)
()()
∫
−−−π
=
L
dz
zzhzz
zf
i
,
2
1
00
(3.9.7)
где через h обозначено произвольное приращение
z
∆
с достаточно малым значением
h
.
Переходя к пределу при
0→h (предельный переход под знаком интеграла может быть аккуратно обоснован), получа-
ем формулу (3.9.6). Поскольку
0
z может быть замена на любую точку
0
~
z (из достаточно малой окрестности точки
0
z ), то
()
zf аналитична в точке
0
z .
3
0
. Рассуждения п. 2
0
можно повторить для
(
)
(
)
00
, zfzf
′
′
′
′
′
и т.д. Следовательно, для любого n в каждой точке Dz
∈
0
существует производная
()
()
0
zf
n
и для нее справедливо соотношение
()
()
()
()
dz
zz
zf
i
n
zf
L
n
n
∫
+
−
π
=
1
0
0
2
!
. (3.9.8)
Формулу (3.9.8) можно получить формально дифференцированием по
0
z соотношения (3.9.1) n раз под знаком инте-
грала.
4
0
. Т е о р е м а М о р е р а. Если функция
(
)
zf непрерывна в односвязной области G и интеграл от
(
)
zf по любому
замкнутому контуру равен нулю, то
()
zf аналитична в G.
Это утверждение является обратным по отношению к установленному ранее свойству, что интеграл по замкнутому
контуру от аналитической функции – равен нулю. Выше мы установили, что функция
() ()
dssfzF
z
z
∫
=
0
является аналитической (при условиях теоремы этот интеграл не зависит от пути, соединяющего точки
0
z
и z), причем дока-
зательство сохранилось бы, если
()
zf требовать лишь непрерывной в G; далее, было установлено, что
(
)
(
)
zfzF
=
′
. Со-
гласно результату п. 3
0
аналитической будет и
()
zF
′
, совпадающая с
(
)
zf , а это и есть доказываемый результат.
5
0
. Неожиданной, на первый взгляд, является следующая
Т е о р е м а Л и у в и л л я. Пусть функция
(
)
zf аналитична во всей комплексной плоскости и существует постоянная
M такая, что для всех z выполнено неравенство
(
)
Mzf ≤
. Тогда
(
)
zf тождественно равна постоянной.
Другими словами, аналитическая во всей плоскости функция, отличная от постоянной, не может быть ограничена по
модулю; так, например, можно указать точки, в которых
zsin сколь угодно велик.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу аналитичности
(
)
zf
′
(вместе с
(
)
zf ) во всей плоскости имеем:
()
()
()
∫
γ
−
π
=
′
R
ds
zs
sf
i
zf ,
2
1
2
(3.9.9)
где
R
γ
– окружность с центром в точке z, сколь угодно большого радиуса R, обходимая в направлении против часовой
стрелки.
На этой окружности
Rzs =−
, следовательно,
()
()
22
R
M
zs
sf
≤
−
;
тогда интеграл (3.9.9) имеет оценку
()
R
M
R
R
M
zf =π⋅
π
≤
′
2
2
1
2
,
где −πR2 длина окружности
R
γ . Но
const=M
, R – сколь угодно велико, тогда
(
)
0=
′
zf
при всех z. Отсюда легко следует
(см. рассуждения п. 4
0
параграфа 3.8), что
()
zf – постоянна, что и утверждалось.
6
0
. Важным приложением теоремы Лиувилля является так называемая основная теорема алгебры: всякое уравнение
вида
0...
01
1
1
=++++
−
−
azazaz
n
n
n
,
(
)
...,2,1
=
n

Страницы