Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Форма ω называется замкнутой, если в рассматриваемой области D ее дифференциал ωd равен нулю и точной, если
существует такая функция F, что во всех точках
.fF
=
′
Как оказывается, из голоморфности
)(zf в данной области D вытекает ее замкнутость: достаточно записав fdz
=
ω
в виде
=++ )()( idydxivu )( udyvdxivdyudx ++−= вычислить, пользуясь условиями Коши-Римана,
dydxd
yx
ω
′
+ω
′
=ω
, чтобы убе-
диться в том, что 0=ωd всюду в D. Верно и обратное, так что голоморфность в D функции
)(zf
равносильна замкнутости
соответствующей дифференциальной формы.
Существование же первообразной голоморфной функции (которое имеет место во всякой односвязной области), озна-
чает для соответствующей дифференциальной формы, что она точна (точна «глобально»).
Таким образом, всякая замкнутая в односвязной области дифференциальная форма (указанного вида) глобально точна.
3.9. ФОРМУЛА КОШИ
1
0
. Пусть функция
()
zf однозначна и аналитична в области G, L – контур, ограничивающий односвязную область D,
целиком лежащий в G и обходимый против часовой стрелки; характер линии L описан в п. 1
0
параграфа 3.6. Тогда для любой
точки
0
z , лежащей в D (т.е. расположенной внутри L) имеет место следующая интегральная формула:
()
()
∫
−π
=
L
zz
dzzf
i
zf .
2
1
0
0
(3.9.1)
Д о к а з а т е л ь с т в о (3.9.1). Для любого 0>ε выберем в D окружность
ϕ
ρ+=
i
ezz
0
столь малого радиуса ρ, чтобы
(
)
(
)
ε<−
0
zfzf ; (3.9.2)
это возможно, так как
()
zf , будучи аналитической, является и непрерывной в D. Обозначим через γ указанную окружность,
выберем на ней направление обхода против часовой стрелки и заметим, что
∫
γ
=
−π
1
2
1
0
zz
dz
i
(3.9.3)
согласно примеру 2 п. 5
0
параграфа 3.5. Теперь по теореме Коши для двухсвязной области (п. 2
0
параграфа 3.7) имеем
(
) ()
∫∫
γ
−
=
−
L
zz
dzzf
zz
dzzf
.
00
(3.9.4)
Указанная теорема применима, поскольку
()
(
)
0
zz
zf
z
−
=ϕ
аналитична вместе с
(
)
zf в области D, из которой исключена
точка
0
z , так что, в частности,
()
zϕ аналитична в области между контурами γ и L и на самих этих контурах.
Оценим разность между интегралом (3.9.1) и
(
)
0
zf , воспользовавшись (3.9.3) и (3.9.4):
()
()
()
()
=
−π
⋅−
−π
=−
−π
∫∫∫
γγ
0
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
zz
dz
i
zf
zz
dzzf
i
zf
zz
dzzf
i
L
() ( )
.
2
1
0
0
∫
γ
−
−
π
= dz
zz
zfzf
i
(3.9.5)
Оценивая модуль интеграла (свойство 6 п. 2
0
параграфа 3.5), имеем правую часть (3.9.5) не превосходящей
,2
2
1
ε=π⋅
ρ
ε
⋅
π
p
i
поскольку имеет место неравенство (3.9.2) и соотношение ρ=−
0
zz на окружности γ. Теперь
()
()
ε<−
−π
∫
L
zf
zz
dzzf
i
0
0
2
1
,
и, в силу произвольности ε, имеем левую часть полученного неравенства равной нулю. Следовательно, формула (3.9.1) дока-
зана.
2
0
. В предположениях п. 1
0
в любой точке
0
z производная
(
)
zf
′
также оказывается аналитической функцией и имеет
место формула
()
()
()
∫
−
π
=
′
L
zz
dzzf
i
zf .
2
1
2
0
0
(3.9.6)
Действительно, "разностное отношение" в силу (3.9.1) имеет вид

Страницы